Influence of electrode geometry on electrical resistivity survey: Numerical study

Tae-Young Kim; Seung-Hun Lee; Hee-Hwan Ryu; Song-Hun Chong

doi:10.9711/KTAJ.2023.25.2.101

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Research Paper

Journal of Korean Tunnelling and Underground Space Association. 31 March 2023. 101-120
https://doi.org/10.9711/KTAJ.2023.25.2.101

Influence of electrode geometry on electrical resistivity survey: Numerical study

전극의 기하학적 형상이 전기비저항 탐사에 미치는 영향: 수치 해석 연구

Tae-Young Kim¹

Seung-Hun Lee²

Hee-Hwan Ryu³

Song-Hun Chong⁴^*

김 태영¹

이 승훈²

류 희환³

정 성훈⁴^*

¹M.S. Student, Dept. of Civil Engineering, Sunchon National University

²Ph.D. Student, Dept. of Civil Engineering, Sunchon National University

³Principal Researcher, Korea Electric Power Research Institute (KEPRI)

⁴Associate Professor, Dept. of Civil Engineering, Sunchon National University

¹비회원, 순천대학교 토목공학과 석사과정

²비회원, 순천대학교 토목공학과 박사과정

³정회원, 한국전력공사 전력연구원 책임연구원

⁴정회원, 순천대학교 토목공학과 부교수

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Electrical resistivity survey have been widely conducted at diverse scales, from a few centimeters for laboratory tests to kilometers for field tests. It measures electrical resistance through relationship of electric potential difference and current between two electrodes penetrated on the surface of medium, and eventually quantifies electrical resistivity known as inherent properties of the medium. In field or full-scale test, it assumes the electrodes as equivalent half-sphere electrodes that have a same surface area with different electrodes for ease of calculation because the contact area between electrode and medium is small and sufficient distance between two electrodes. However, small-scale laboratory test is significantly affected by the electrode geometries (penetrated depth, height, radius of electrode and distance between electrodes), which change the equipotential surface and electric current flow. Indeed, the electrode geometries may eventually cause a difference of electrical resistivity value. This study reviews the theoretical electrical resistance derived with various electrode geometries (half-sphere, cylinder, cylindrical with half-spherical tip, cylindrical with conical tip) and verifies the developed numerical module by comparing results with the theoretical electrical resistance. The distributions of electrical resistance around electrodes and among electrodes are analyzed. In addition, it is discussed how the electrical characteristic of cylindrical electrode with conical tip widely used in field test has effect on the electric current flow.

Keywords

Electrical resistivity survey

Electrode geometry

Theoretical electrical resistance

Numerical module

Distribution of electrical resistance

전기비저항 탐사 방법은 매질의 표면에 관입된 두 전극의 전위차와 전류와의 관계를 통해 전기 저항을 측정하고, 형상 계수를 이용하여 매질의 고유한 특성인 전기비저항을 계산한다. 현장 및 실대형 크기의 전기비저항 실험은 전극과 매질 사이의 접촉 면적이 적고, 전극 간 거리가 충분하기 때문에 계산상 편의를 위해서 동일한 표면적을 가진 반구형으로 치환하여 전기비저항을 산정한다. 하지만, 실내 소규모 크기의 전기비저항 실험은 전극의 지오메트리(전극의 관입 깊이, 전극 사이의 거리, 전극의 길이와 반지름 크기)로 인해서, 등전위면과 전류 흐름이 달라지게 되므로, 궁극적으로 전기비저항 값의 오차를 야기한다. 본 연구는 기존 연구에서 유도된 4가지 전극 형상(반구, 원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥)에 따른 전기 저항 이론식을 정리하고, 전극 형상을 고려한 전기 저항 수치 해석을 실시하였으며, 이론식과 수치 해석 결과들의 비교를 통해서 개발된 수치 해석 모듈을 검증하였다. 또한, 각 전극 형상에 따른 전극 주변과 전극 사이에 형성된 전기 저항 분포를 분석하였다. 추가적으로, 현장 전기비저항 탐사에서 주로 사용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전기적 특성에 따른 전류 흐름 분포를 고찰하였다.

키워드

전기비저항 탐사

전극의 형상

전기 저항 이론식

수치 해석 모듈

전기 저항 분포

MAIN

1. 서 론
2. 전극의 기하학적 형상에 따른 전기 저항에 대한 지배 방정식
2.1 전위 이론: 점전하
2.2 전극의 기하학적 형상에 따른 전기 저항 이론식
3. 전기 저항 수치 해석 모듈 개발
3.1 전극과 전극 주변들의 메쉬 구성
3.2 전극 형상에 따른 전기 저항 수치 해석
4. 전기 저항 수치 해석 결과 및 고찰
4.1 전극 형상에 따른 전기 저항 변화
4.2 콘형 전극의 전기적 특성이 전위 분포에 미치는 영향
4.3 등가 반구형 전극의 사용으로 인한 영향
5. 결 론

1. 서 론

국내 산업 발전과 도시화는 수도권을 중심으로 한 도시의 인구 밀도를 꾸준히 증가시켜 왔다. 이로 인해 지하 공간(공동구, 전력구, 터널 등)을 확충하는 사업들의 일환으로 기존에 설치된 인프라 및 지하 매설물 등의 점검 및 교체가 진행되어 오고 있다. 새로운 지하 공간 시공을 위해서는 기존 지하 매설물을 확인해야 한다. 하지만, 기존 지하 매설물들은 설계 도면이 존재하지 않거나, 교체 중 기존 도면과 차이가 발생하므로, 지반 조사를 통하여 하부 지반을 포함한 기존 지하 매설물에 대한 파악은 필수적이다. 이와 같은 필요성으로 인해 지반 조사가 선행되었음에도 불구하고, 예측하지 못한 용수나 단층 파쇄대 등의 지질로 인한 시공 문제가 발생하는 사례가 끊임없이 발생하고 있다(Ryu, 2010; Ryu et al., 2015).

최근에 연속적인 지반 정보를 단시간 내에 얻을 수 있는 탄성파 탐사, 지하레이더 탐사(ground penetrating radar, GPR), 전기비저항 탐사와 같은 비파괴 지반물리탐사 기법(geophysical exploration technique)들이 많이 이용되어 오고 있다. 하지만, 탄성파 탐사에서 신호 발생을 위한 발파는 터널 굴착 시에 설치되는 세그먼트 라이닝의 파괴, 진동/소음과 같은 환경적인 문제, 그리고 하부 지하 매설물의 방향과 위치 예측을 위한 측선 설치와 같은 기술적인 어려움들이 존재한다. 또한, 도심지에서 많이 이용되는 지하레이더 탐사는 측정 깊이 및 지반 상태(함수비 또는 포화도)에 영향을 받는 한계점이 있다. 이에 반해, 전기비저항 탐사는 전위차를 이용하여 지반에 관입된 전극 간 직류 흐름을 발생시켜 전기 저항을 측정하는 방법으로 발파를 진행할 필요가 없고, 상대적으로 깊은 심도까지 지반 상태와 지하 매설물 위치를 예측할 수 있으므로, 많이 이용되고 있다.

2전극 전기비저항 탐사법 중 하나인 TEPS (tunnel electrical resistivity prospecting system)는 원지반과 터널 전방 지반의 전기비저항 임피던스(electrical resistivity impedance) 차이를 이용하여 터널 전방의 지질학적 특성인 함수대와 단층 파쇄 등의 존재를 터널 직경의 5배 가량의 범위 내에서 파악하였고(Ryu et al., 2008), 지하 매설물(전력구와 관로)의 위치 및 방향을 오차 범위 20% 내에서 예측하였다(Ryu et al., 2015; 2017). TEPS에 사용된 전극의 형상은 지반이 단단한 경우에 천공 후 전극을 삽입하기 때문에 끝이 평평한 전극을 설치하고, 지반이 연약한 경우에는 끝이 뾰족한 원기둥형 전극을 사용한다. 하지만, 전기비저항 산정 시에 가압된 전극의 형상에 의한 등전위 표면적(equipotential surface area)을 고려하지 않고, 실제 전극(원기둥형 전극 및 콘형 팁을 가진 원기둥 전극)과 동일한 면적의 등가 반구로 치환한 후 측정된 전기 저항과 등가 반구의 반지름 사이의 관계식을 이용하여 원지반의 전기비저항을 산정하였다. 또한, 4전극 전기비저항 탐사(Wenner 또는 Schlumberger array)도 해석 시 계산의 간편성 등의 이유로 실제 전극의 원기둥 형상이 아닌 점전극(point electrode)으로 취급하여, 전극이 깊이 관입되어 있는 경우에 계산 오차를 야기한다(Baishiki et al., 1987). 전극의 형상은 고유의 등전위선(equipotential line)과 전류 흐름(current flow)을 발생시키므로, 대부분에 전기비저항 탐사에서 이용하는 반구의 등가 표면적을 형상 계수로 이용할 경우, 측정된 전기 저항을 매질의 고유한 특성인 전기비저항으로 환산 시에 차이를 야기한다. 하지만, 전극 형상의 영향에 대한 정량적인 연구가 진행된 바는 전무한 실정이다.

본 연구에서는 기존 연구에서 유도된 4가지 전극 형상(반구, 원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥)에 따른 전기 저항 이론식을 정리하고, 전극 형상을 고려한 전기 저항 수치 해석을 실시하였으며, 이론식과 수치 해석 결과들의 비교를 통해서 개발된 수치 해석 모듈을 검증하였다. 또한, 각 전극 형상에 따른 전극 주변과 전극 사이에 형성된 전기 저항 분포를 분석하였고. 추가적으로, 현장 전기비저항 탐사에서 주로 사용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전기적 특성(도체 또는 부도체)이 전극 사이의 전류 흐름에 미치는 영향을 고찰하였다.

2. 전극의 기하학적 형상에 따른 전기 저항에 대한 지배 방정식

2.1 전위 이론: 점전하

전기비저항은 두 전극의 전위차 $V$ 에 의해 도체 내부에 흐르는 전류 $I$ 로 표현되는 경험적인 식 인 옴의 법칙(Ohm’s law)과 전하량 보존의 법칙(electric charge conservation law)을 이용하여 다음과 같이 표현할 수가 있다.

(1)

J = σ \cdot E = σ \cdot (- \nabla V)

여기서, $J$ 는 전류 밀도(A/m²), $E$ 는 전기장(V/m), $σ$ 는 매질의 전기전도도(1/Ω ‧ m), $V$ 는 전위차(V), 그리고 $\nabla$ 는 라블라 연산자이다. 점전하는 자유 공간 상에서 대칭적 전하 분포를 형성하며 이를 둘러싼 Gauss 면을 통과하는 전기선속(electric flux)은 가우스 법칙(Gauss’s flux theorem)을 통해 정리된다. 이에 따라 점전하의 전기장은 전하로부터 떨어진 거리에 의존하며 보존장(conservative vector field) 그리고 비회전(curl free $\nabla \cdot E = 0$ )으로 표현된다. 시간에 따라 전류의 크기와 방향이 변하지 않는 정상 직류 전류(steady direct current) 가정하에 전하량 보존의 법칙으로부터 유도된 연속 방정식(continuity equation)은 다음과 같다.

(2)

\nabla \cdot J = - \frac{\partial ρ_{e}}{\partial t} = 0

여기서, $ρ_{e}$ 는 공간 전하 밀도(coulomb/m³)이고, 식 (1)의 양변에 라블라 연산자를 적용시키면 다음과 같다.

(3)

\nabla \cdot J = - (\underset{= 0}{\underset{⏟}{\nabla σ \cdot \nabla V}} + σ \nabla^{2} V) = - σ \cdot \nabla^{2} V = 0

균질한 매질에서 전기전도도는 일정하고( $\nabla \cdot σ = 0$ ), 정상 직류 전류 흐름에서의 전위 변화를 수학적으로 표현하는 라플라스 방정식을 구면 좌표계로 나타내면 다음과 같다.

(4)

\nabla^{2} V = \frac{1}{s^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial s} (s^{2} \frac{\partial V}{\partial s}) = \frac{\partial^{2} V}{\partial s^{2}} + (\frac{2}{S}) \cdot \frac{\partial V}{\partial s} = 0

여기서, $s$ 는 전극 중심으로부터의 거리이다. 2계 선형 동차 미분방정식의 해를 구하면 다음과 같다.

(5)

V = \frac{C_{1}}{s} + C_{2}

상수 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 는 경계 조건( $s \to \infty$ 일 때, $V = 0$ ) 그리고 전류 $I$ 와 전류 밀도 $J$ 와의 관계식을 통해 얻어진다.

(6)

I = A \cdot J = A \cdot (σ \cdot - \frac{d V}{d s}) = A \cdot σ \cdot \frac{C_{1}}{s^{2}} ∴ C_{1} = \frac{ρ \cdot I}{A} \cdot s^{2}

여기서, $A$ 는 등전위 표면적(m²), 전기비저항 $ρ$ 는 전기전도도의 역수이다( $= 1 / σ$ ). 따라서, 균질한 반 공간(half-space)에서 전극에 의해 유발된 전위 경도(electric potential gradient, dV/ds)를 통해 다음과 같이 전위 $V$ 를 구할 수 있다.

(7)

V = \int_{}^{} \frac{ρ \cdot I}{A} d s

여기서, $A$ 는 전극 중심으로부터 떨어진 거리 $s$ 의 함수이다.

2.2 전극의 기하학적 형상에 따른 전기 저항 이론식

기존 문헌 연구들에서 유도된 총 4가지 전극(반구형, 원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 그리고 콘형 팁을 가진 원기둥)의 기하학적 형상을 고려한 등전위 표면적 및 전극 사이 거리에 따른 전기 저항 이론식을 정리하였다. Fig. 1은 전극 형상에 따라서 전극의 전위차에 의해 형성되는 등전위 표면(equipotential surface)과 전류 흐름(current flow) 분포들을 개략적으로 도시하였다.

2.2.1 반구형 전극(Hong et al., 2019a)

Fig. 1(a)는 반지름이 $r$ 인 두 개의 반구형 전극이 거리 $L$ 만큼 떨어져 매질에 관입된 상태를 보여주며 반구형 전극의 등전위 표면적 $A_{h a l f - s p h e r e} (x)$ 은 전극의 표면으로부터 임의의 점까지 거리 $x$ 에 의해 다음과 같이 표현된다.

(8)

A_{h a l f - s p h e r e} (x) = \underset{① H a l f - s p h e r e}{\underset{⏟}{2 π (r + x)^{2}}}

전하량은 같지만 서로 반대의 극성을 가지는 전압 $V_{s p 1}$ 과 $V_{s p 2}$ 는 매질의 전기비저항 $ρ$ , 전극 사이 흐르는 전류 $I$ , 두 전극 사이 거리 $L$ , 그리고 등전위 표면적 $A_{h a l f - s p h e r e} (x)$ 을 통해 다음과 같이 계산된다.

(9)

V_{s p 1} = - V_{s p 2} = \int_{0}^{L - 2 r} \frac{ρ \cdot I}{A_{h a l f - s p h e r e} (x)} d x = \frac{ρ \cdot I}{2 π} \cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{L - r})

따라서 두 개의 반구형 전극 사이 전기 저항 $R_{h a l f - s p h e r e}$ 은 옴의 법칙을 따라 다음과 같다.

(10)

R_{h a l f - s p h e r e} = \frac{2 \cdot ∆ V}{I} = \frac{ρ}{π} \cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{L - r})

2.2.2 원기둥 전극(Hong et al., 2019a)

Fig. 1(b)는 반지름이 $r$ 이고 높이가 $l$ 인 두 개의 원기둥 전극이 거리 $L$ 만큼 떨어진 곳에서 매질에 관입된 것을 보여주며, 등전위 표면적 $A_{c y l i n d e r} (x)$ 는 전극의 표면으로부터 임의의 점까지의 거리 $x$ 만큼에 떨어진 표면적으로 표현된다.

(11)

A_{c y l i n d e r} (x) = \underset{① C y l i n d e r}{\underset{⏟}{2 π (r + x) l + π^{2} r}} + \underset{② O u t e r t o r u s}{\underset{⏟}{π^{2} r \cdot x + 2 π x^{2}}}

$V_{c y 1}$ 과 $V_{c y 2}$ 는 전하량은 같지만 서로 반대의 극성을 가지는 전압을 의미하며 매질의 전기비저항 $ρ$ , 전극 사이 흐르는 전류 $I$ , 두 전극 사이 거리 $L$ , 그리고 등전위 표면적 $A_{c y l i n d e r} (x)$ 을 이용하여 나타낸 전압은 다음과 같이 계산된다.

(12)

V_{c y 1} = - V_{c y 2} = \int_{0}^{L - 2 r} \frac{ρ \cdot I}{A_{c y l i n d e r} (x)} d x = \frac{2 ρ \cdot I}{π \cdot (A_{2} - A_{1})} \cdot [\ln (\frac{L - 2 r + A_{1} / 4}{L - 2 r + A_{2} / 4}) - \ln (\frac{A_{1}}{A_{2}})] A_{1} = π r + 2 l - \sqrt{(π r + 2 l)^{2} - 8 \cdot (2 r l + r^{2})}, A_{2} = π r + 2 l + \sqrt{(π r + 2 l)^{2} - 8 \cdot (2 r l + r^{2})}

여기서, 상수 $A_{1}$ 과 $A_{2}$ 는 수식의 간편성을 위해 사용된 기호로 식 (12)와 같이 정리하였다. 따라서 두 개의 원기둥형 전극 사이 전기 저항 $R_{c y l i n d e r}$ 은 옴의 법칙을 따라 다음과 같다.

(13)

R_{c y l i n d e r} = \frac{2 \cdot ∆ V}{I} = \frac{4 ρ}{π (A_{2} - A_{1})} \cdot [\ln (\frac{L - 2 r + A_{1} / 4}{L - 2 r + A_{2} / 4}) - \ln (\frac{A_{1}}{A_{2}})]

2.2.3 반구형 팁을 가진 원기둥 전극(Hong et al., 2019b)

Fig. 1(c)는 반구형 팁을 포함한 전극의 반지름은 $r$ 이고, 원기둥 부분의 높이는 $l$ 인 반구형 팁을 가진 원기둥 전극을 총 2개의 구역으로 나눈 등전위 표면적과 두 전극 사이 전류 흐름과 함께 도시하였다. 등전위 표면적 $A_{s} (x)$ 는 전극의 표면으로부터 임의의 점까지의 거리 $x$ 만큼 떨어진 지점의 원기둥 둘레와 반구로 구성된다.

(14)

A_{s} (x) = \underset{① C y l i n d e r}{\underset{⏟}{2 π (r + x) l}} + \underset{② H a l f - s p h e r e}{\underset{⏟}{2 π (r + x)^{2}}}

$V_{s 1}$ 과 $V_{s 2}$ 는 전하량은 동일하나 극성이 다른 전압이며 매질의 전기비저항 $ρ$ , 전극 사이 흐르는 전류 $I$ , 두 전극 사이 거리 $L$ , 그리고 등전위 표면적 $A_{s} (x)$ 을 이용하여 나타낸 전압은 다음과 같이 계산된다.

(15)

V_{s 1} = - V_{s 2} = \int_{0}^{L - 2 r} \frac{ρ \cdot I}{A_{s} (x)} d x = \frac{ρ \cdot I}{2 π \cdot l} \cdot [\ln (1 + \frac{l}{r}) - \ln (1 + \frac{l}{L - r})]

따라서 두 개의 반구형 팁을 가진 원기둥 전극 사이 전기 저항 $R_{s}$ 은 옴의 법칙을 따라 다음과 같다.

(16)

R_{s} = \frac{2 \cdot ∆ V}{I} = \frac{ρ}{π \cdot l} \cdot [\ln (1 + \frac{l}{r}) - \ln (1 + \frac{l}{L - r})]

2.2.4 콘형 팁을 가진 원기둥 전극(Hong et al., 2022)

Fig. 1(d)는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 등전위 표면적을 총 4개의 구역으로 나누었고, 두 전극 사이 전류 흐름과 함께 도시하였다. 총 4개의 구역(cylinder, part of outer torus, truncated cone, 그리고 part of sphere)에 대한 등전위 표면적 $A_{c} (x)$ 은 다음과 같다.

(17)

A_{c} (x) = \underset{① C y l i n d e r}{\underset{⏟}{2 π (r + x) l}} + \underset{② P a r t o f o u t e r t o r u s}{\underset{⏟}{(π^{2} r x + 2 π x^{2}) \frac{\tan^{- 1} (r / h)}{π / 2}}} + \underset{③ T r u n c a t e d c o n e}{\underset{⏟}{π [(r + x \frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}) + x \frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}] \cdot \sqrt{h^{2} + r^{2} +}}} \underset{④ P a r t o f s p h e r e}{\underset{⏟}{2 [π - 2 \tan^{- 1} (r / h)] \cdot x^{2}}}

$V_{c 1}$ 과 $V_{c 2}$ 는 전하량은 동일하나 극성이 서로 다른 전압이며 매질의 전기비저항 $ρ$ , 전극 사이 흐르는 전류 $I$ , 두 전극 사이 거리 $L$ , 그리고 등전위 표면적 $A_{c} (x)$ 을 이용하여 나타낸 전압은 다음과 같이 계산된다.

(18)

V_{c 1} = - V_{c 2} = \int_{0}^{L - 2 r} \frac{ρ \cdot I}{A_{c} (x)} d x = \frac{ρ \cdot I}{2 π \cdot (B_{2} - B_{1})} \cdot [\ln \frac{B_{2}}{B_{1}} - \ln (\frac{L - 2 r + B_{2}}{L - 2 r + B_{1}})] B_{1} = \frac{h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) + l - \sqrt{(h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) + l)^{2} - 2 r \cdot (\sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 l)}}{2}, B_{2} = \frac{h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) + l + \sqrt{(h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) + l)^{2} - 2 r \cdot (\sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 l)}}{2}

여기서, 상수 $B_{1}$ 과 $B_{2}$ 는 수식의 간편성을 위해 사용된 기호로 식 (18)과 같이 정리하였다. 따라서 두 개의 콘형 팁을 가진 원기둥 전극 사이 전기 저항 $R_{c}$ 은 옴의 법칙을 따라 다음과 같다.

(19)

R_{c} = \frac{2 \cdot ∆ V}{I} = \frac{ρ}{π \cdot (B_{2} - B_{1})} \cdot [\ln \frac{B_{2}}{B_{1}} - \ln (\frac{L - 2 r + B_{2}}{L - 2 r + B_{1}})]

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Fig. 1.

Schematic of equipotential and current flow line between two electrodes penetrated on medium. An arbitrary point (x) is the distance from electrode surface to equipotential line

3. 전기 저항 수치 해석 모듈 개발

3.1 전극과 전극 주변들의 메쉬 구성

본 연구에서는 유한 요소 프로그램인 COMSOL Multiphysics^® (2022)를 사용하여, 전극 형상들에 따른 전기 저항 변화를 정량적으로 분석하였다. COMSOL에 내재된 DC (직류) 모듈에서 종속 변수로서 스칼라 전위(scalar electric potential)를 사용하는 옴의 법칙에 의한 전하량 보존 방정식 해석이 가능한 Electric Currents와 정상 직류 전류 해석을 구현하기 위해서 Stationary 기능을 적용하였다. 메쉬(mesh)는 COMSOL의 Mapped와 Swept 기능을 이용하여 직육면체 요소들을 생성하였다. Mapped 기능으로 전체 도메인을 형성하고, 각 방향에 대한 노드와 요소들의 개수들을 설정하였다. 또한, Swept 기능을 이용하여, 마주보는 면(source face and destination face) 사이의 메쉬 내부 요소를 생성하였다.

Fig. 2는 반무한 공간에 생성된 20 m × 20 m × 20 m의 정육면체 3D 도메인과 Top view이며, 두 개의 전극 위치들과 전극 주변들의 기하학적 기호와 요소 길이를 정리하였다. 높이 $H$ (Z direction)의 메쉬는 전극이 관입된 층을 제외한 총 2개의 구간( $H_{1}$ , $H_{2}$ )으로, $H_{1}$ 은 약 0.2 m/element (이하 elt)의 일정한 크기를 가지며, $H_{2}$ 는 전극의 영향 범위 밖에 있는 요소들을 느슨한 메쉬로 형성하여 해석 시간을 줄이기 위해서 등비 수열(geometric sequence) 방법을 이용하여 최소 0.2 m/elt에서 최대 1.8 m/elt 크기로 총 20개의 직육면체 요소로 구성하였다. 너비 $W$ (X direction)는 총 3개의 구역( $W_{e}$ , $W_{1}$ , 그리고 $W_{2}$ )으로 나누었다. $W_{e}$ 는 전극을 포함하는 구역으로 0.125 m/elt 크기로 메쉬를 조밀하게 형성하였고, $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 는 약 0.5 m/elt 크기로 일정하게 형성하였다( $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 의 전체 길이는 전극 사이 거리 $L$ 에 따라 변화하지만, 요소 당 길이는 일정함). 길이 $D$ (Y direction)는 총 2개의 구간( $D_{1}$ 과 $W_{e}$ )이며 $D_{1}$ 은 너비 방향 요소들과 유사하게 약 0.5 m/elt의 크기로 하였다. 접지 전극(grounding electrode)과 지정된 전압 혹은 전하를 흘려보내는 터미널(terminal electrode)들은 해석 시간을 줄이기 위하여 두께 5 mm를 가진 속이 빈 형태(coreless form cavity)로 전극들을 모델링하고, 대신에 전극의 표면에 전기적인 경계 조건들을 설정하였다. 전극 둘레 방향 메쉬는 총 16개의 요소로 나누고, 전극의 원기둥 길이 $l$ (= 0.05 m), 반지름 $r$ (= 0.05 m), 그리고 팁 부분 높이 $h$ (= 0.05 m)에는 각 1개의 요소만 형성하였다(전극의 형상 및 메쉬는 Fig. 3의 전기 저항 해석 결과와 함께 도시함).

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Fig. 2.

Mesh and geometry adopted in this study. Domain size is 20 m (W) × 20 m (D) × 20 m (H). The W₁ and W₂ lengths are changed when two electrodes are installed in the different location (other lengths are the same)

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Fig. 3.

Comparison of theory with numerical simulation and isosurface of electrical resistance around terminal electrode according to four electrode shapes. Solid lines are obtained from theoretical Eqs. (10), (13), (16), and (19), respectively. The electrode geometry refers to Table 1

3.2 전극 형상에 따른 전기 저항 수치 해석

전극과 전극 주변에 제안된 요소 크기를 적용하여 매질과 전극 메쉬들을 형성하였다. 사용된 전극의 전기비저항은 현장 전기비저항 탐사에서 주로 사용되는 ASIS 303 Stainless ( $ρ_{1}$ = 7 × 10^-7 Ω ‧ m)으로 하였다(Ho and Chu, 1977). 또한, 매질의 전기비저항( $ρ_{2}$ = 10³ Ω ‧ m)은 함수비 10%와 상대 밀도 75%인 모래로 가정하였다(De Melo et al., 2021). 전위차는 터미널 전극에 1 $V$ 를 가압하여 접지 전극과 1 $V$ 만큼 발생시켰다. 4개의 전극 형태(반구, 원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥)와 7개의 각 전극 사이의 거리(0.5, 1, 2, 4, 6, 8, 10 m)를 포함한 총 28개의 매개 변수 해석(parametric study)을 수행하였다. 수치 해석에 사용된 전극의 기하학적 조건과 전기적인 물성치는 Table 1에 정리하였다.

Table 1.

Electrode geometry and electrical resistivity used in this study

Parameter		Value
Electrode geometry (m)	Electrode radius $r$	0.05
	Height of cylinder part $l$	0.05
	Height of tip part $h$	0.05
	Distance between electrode $L$	0.5, 1, 2, 4, 6, 8, 10
Electrical resistivity (Ω ‧ m)	Sandy soil $ρ_{1}$	10³
Electrical resistivity (Ω ‧ m)	Electrode $ρ_{2}$	7 × 10^-7

4. 전기 저항 수치 해석 결과 및 고찰

4.1 전극 형상에 따른 전기 저항 변화

Fig. 3은 각 전극 형상과 두 전극 중심 사이 거리 $L$ 에 따른 전기 저항 이론식과 수치 해석 결과를 비교하였고, 터미널 전극 주변에서 얻은 등표면 전기 저항(isosurface electrical resistance)을 보여준다. 우선, 모든 전극의 경우에서 두 전극 사이 거리 $L$ 가 멀어짐에 따라 전기 저항값이 증가하였고, 증가율은 급격히 감소하였다. 또한, 각 전극에 대한 표면적을 계산하였을 때에 반구, 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥, 그리고 반구형 팁을 가진 원기둥 전극 순서로 커지며, 전기 저항은 전극의 표면적에 반비례하는 경향을 보인다. 이론식과 수치 해석 결과들 사이에 오차율은 모든 경우에 1% 미만으로 매우 작게 나타났다. 전극 주변의 등표면 전기 저항은 정상 직류 상태 해석으로 인해서, 주어진 전극 형상에서 전극 표면에 동일한 저항값을 보인다. 이러한 결과들을 통해서 본 연구에서 개발된 전기 저항 수치 해석 모듈의 신뢰성이 검증되었다.

Fig. 4는 전극 형상에 따라서 두 전극 사이 거리 $L$ 가 0.5 m 그리고 10 m일 때, 깊이 방향으로 형성된 전기 저항 분포이다. 모든 경우에서 전극 주변에서 발생한 전기 저항 분포는 Fig. 1에 도시한 등전위 표면과 유사한 형상을 보이며, 전극이 관입된 깊이까지는 상대적으로 조밀한 간격의 전기 저항 분포를 형성한다. 하지만, 전극이 관입된 깊이 이후에는 전기 저항의 변화량이 급격하게 감소하고, 전극의 형상과 상관없이 유사한 전기 저항 분포를 보였다.

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Fig. 4.

Distribution of electrical resistance with four electrode shapes. The distance between electrodes L is fixed as 0.5 and 10 m in all cases, respectively

4.2 콘형 전극의 전기적 특성이 전위 분포에 미치는 영향

현장 전기비저항 탐사에서 전극 설치의 용이함으로 인해서, 콘형 팁을 가진 원기둥 전극이 주로 사용되어 오고 있으며, 전체 표면(원기둥과 콘 팁 부분)이 도체(conductor)인 전극과 콘 팁 부분만 도체이고 원기둥 부분은 높은 전기비저항 값을 가지는 부도체(nonconductor)이며 콘 팁만 도체인 전극으로 구분된다. 전극의 전기적 특성이 전극 사이의 전류 흐름에 미치는 영향을 분석하기 위해서 본 연구에서 개발된 수치 해석 모듈을 이용하여, 콘만 관입된 전극과 콘형 팁은 도체이며 원기둥 부분은 부도체인 전극에 대해서 추가적인 전기 저항 해석을 실시하였다. 도체로 구성된 전극의 표면에만 전압을 흘려보내는 터미널을 설정하였으며, 전극의 부도체를 구현하기 위해서 상대적으로 높은 전기비저항 10¹⁵ Ω ‧ m을 사용하였다(Chiu et al., 2013).

콘만 관입된 전극의 이론식은 앞서 유도한 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 4개 구역으로 구분한 등전위 표면적(Fig. 1(d) 참조) 가운데 ② Part of outer torus, ③ Truncated cone, 그리고 ④ Part of sphere를 이용하여 계산한 전기 저항 값을 다음과 같이 표현할 수가 있다.

(20)

R_{c o n e} = \frac{ρ}{π \cdot (C_{2} - C_{1})} \cdot [\ln \frac{C_{2}}{C_{1}} - \ln (\frac{L - 2 r + C_{2}}{L - 2 r + C_{1}})] C_{1} = \frac{h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) - \sqrt{[h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h)]^{2} - 2 r \cdot \sqrt{r^{2} + h^{2}}}}{2}, C_{2} = \frac{h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h) + \sqrt{[h + r \cdot \tan^{- 1} (r / h)]^{2} - 2 r \cdot \sqrt{r^{2} + h^{2}}}}{2}

Fig. 5는 콘만 관입된 전극 및 전극 전체가 도체인 콘 형상을 가진 원기둥 전극의 전기 저항 이론 값과 3가지 전극의 전기 저항 수치 해석 값을 보여준다(전극의 일부만 도체인 경우, 전극 주변의 등전위 표면적을 정확히 산정하기 어려움으로 이론식을 유도할 수가 없음). 모든 전극의 경우에 두 전극 사이 거리 $L$ 이 멀어짐에 따라 전기 저항이 증가하였고, 전기 저항의 크기는 전극의 등전위 표면적에 반비례하기 때문에, 전극 전체가 도체인 콘형 팁을 가진 원기둥 전극이 가장 낮은 전기 저항값을 보였고, 전극의 일부만 도체인 경우는 중간의 전기 저항값을 보였다.

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Fig. 5.

Variation of electrical resistance for cone electrode and cylindrical electrode with conical tip under different electrical characteristics. Solid and dashed lines are obtained from theoretical Eqs. (19) and (20), respectively

Fig. 6은 전극의 형상 및 전기적 특성이 전위 및 전류 흐름 분포에 어떠한 영향을 주는 지를 보여준다. Fig. 6(a)는 콘만 관입된 전극의 전위 및 전류 흐름 분포를 나타내며 전극을 중심으로 형성된 등전위 표면은 앞선 이론식 유도에서 고려한 Fig. 1(d) 가운데 콘 팁 부분(②~④ 구역)과 유사하다. 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전위 분포(Fig. 6(c))는 콘만 관입된 전극과 비교하여 상대적으로 크게 형성되었다. 또한, 전극의 중심으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있을 때, 콘만 관입된 전극에서 더 낮은 전위를 보이는데, 이는 전극의 등전위 표면적이 클수록 전류가 잘 흐르기 때문이다. Fig. 6(b)와 (c)는 동일한 전극 형상이지만 원기둥 부분의 전기적 특성이 각각 부도체와 도체로 다른 경우일 때 형성되는 전위와 전류 흐름 분포를 보여준다. 전극 전체가 도체인 경우, 전극을 중심으로 표면을 따라 대칭성 전위 분포가 형성되지만, 전극의 콘 부분만 도체일 경우, 부도체인 원기둥 부분의 표면을 따라 상대적으로 작은 크기의 비대칭성 등전위 표면적을 보였다. 또한, 부도체의 높은 전기비저항의 영향으로 깊이 방향(Z direction)을 따라 형성된 전위의 간격이 지표면에 가까워질수록 넓어지며 그로 인해 지표면에서의 전위는 상대적으로 낮게 나타났으며 등전위 표면의 변화로 인해 지표면을 향한 전류 흐름이 발생하였다. 이를 통해서, 전극의 전기적 특성이 전류 흐름의 방향에 영향을 미친다는 것을 확인하였다.

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Fig. 6.

Distribution of electric potential and current flow with cylindrical electrode with conical tip under different electrical characteristics. The distance between electrodes L are fixed as 0.5 m

4.3 등가 반구형 전극의 사용으로 인한 영향

전극 형상은 다르지만, 동일한 전극 표면을 가진 전극의 전기 저항 차이를 정량적으로 분석하였다. 다른 세 개의 전극들(원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥)을 반구로 표면적을 등가 치환하였으며, 그 식들은 다음과 같다.

(21)

\underset{E q u i v a l e n t h a l f - s p h e r e}{\underset{⏟}{2 π r_{e}^{2}}} = \underset{C y l i n d e r}{\underset{⏟}{2 π r l + π r^{2}}}

(22)

\underset{E q u i v a l e n t h a l f - s p h e r e}{\underset{⏟}{2 π r_{e}^{2}}} = \underset{C y l i n d r i c a l w i t h h a l f - s p h e r i c a l t i p}{\underset{⏟}{2 π r l + 2 π r^{2}}}

(23)

\underset{E q u i v a l e n t h a l f - s p h e r e}{\underset{⏟}{2 π r_{e}^{2}}} = \underset{C y l i n d r i c a l w i t h c o n i c a l t i p}{\underset{⏟}{2 π r l + \frac{1}{2} r \sqrt{r^{2} + h^{2}}}}

여기서, $r_{e}$ (m)는 등가 반구형 전극의 반지름이다. 각각의 등가 반지름을 적용한 해당 전극 형상에 따른 이론식과 원래 전극 형태를 사용한 이론식에 대한 전기 저항 변화를 비교를 하였다(Fig. 7). Fig. 7(a)와 (b)와 같이, 원기둥 및 반구형 팁을 가진 원기둥 전극에서는 전극 사이 거리 $L \geq 4 \cdot r$ 일 때 등가 반구형 전극의 전기 저항과 2% 미만의 차이를 보이지만, Fig. 7(c)와 같이 콘형 팁을 가진 원기둥 전극은 20% 이상 차이를 보였다. 따라서, 연약 지반에서 사용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극을 사용하여 현장 전기비저항 탐사를 할 때, 측정된 전기 저항을 등가 반구형으로 치환한 형상 계수를 적용할 경우, 환산된 전기비저항 값에 계산 오차가 발생할 수 있음을 주의해야 한다.

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Fig. 7.

Electrical resistance of three electrodes and corresponding equivalent half-sphere electrodes. Solid lines are obtained from theoretical Eqs. (13), (16), and (19), respectively. Dashed lines are obtained from theoretical Eq. (10)

5. 결 론

본 연구에서는 기존 문헌들에서 유도된 총 4가지 전극(반구, 원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 그리고 콘형 팁을 가진 원기둥)의 기하학적 형상을 고려한 전기 저항 이론식을 정리하였고, 이를 고려한 전기 저항 수치 해석 모듈 개발하였으며 이론식과 수치 해석 모듈 비교를 통해 신뢰성을 검증하였다. 이외에도 현장 전기비저항 탐사에서 이용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전기적 특성이 전극 사이에 형성된 전위 및 전류 흐름 분포에 미치는 영향을 분석하여 얻어진 결론은 다음과 같다.

1. 유한 요소 프로그램인 COMSOL Multiphysics^® (2022)를 이용하여 DC 모듈에서 옴의 법칙에 의한 전하량 보존 방정식을 해석하는 Electric Currents, 정상 직류 전류 해석을 구현하는 Stationary, 그리고 Mapped와 Swept 기능을 이용하여 전극의 형상 및 전극의 영향 범위 밖에 있는 메쉬 요소들을 형성하였다.

2. 전극 형상에 따른 전기 저항 이론식 및 수치 해석 결과들을 두 전극 중심 사이 거리 $L$ 에 따라 비교하였고, 터미널 전극 주변에서 얻은 등표면 전기 저항을 나타내었다. 모든 전극의 경우에서 거리 $L$ 이 증가함에 따라 전기 저항이 커졌고, 점차 수렴하였다. 총 4가지 전극의 등전위 표면적을 계산하여 이를 전기 저항 값과의 관계를 분석하였을 때에 반비례하는 경향이 나타나며 이는 유도된 전기 저항 이론식과 같다. 또한 전기 저항 이론식과 수치 해석 결과들 사이 오차율은 1% 미만으로 매우 작게 나타났으며 정상 직류 상태 해석으로 인해서 전극 표면에는 동일한 전기 저항 값을 보인다. 이를 통해서, 본 연구에서 개발된 전기 저항 수치 해석 모듈의 신뢰성이 검증되었다.

3. 현장에서 주로 사용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전기적 특성(도체 또는 부도체)이 전극 간 전류 흐름에 미치는 영향을 정량적으로 분석하기 위해 콘만 관입된 전극 및 콘 형상은 도체이며 원기둥은 부도체인 전극에 대해 추가적으로 수치 해석을 실시하여 콘형 팁을 가진 원기둥과 비교하였다. 모든 전극의 경우에 두 전극 사이 거리 $L$ 이 멀어짐에 따라 전기 저항이 증가하였고, 전기 저항의 크기는 전극의 등전위 표면적에 반비례하기 때문에, 전극 전체가 도체인 콘형 팁을 가진 원기둥 전극이 가장 낮은 전기 저항값을 보였고, 전극의 일부만 도체인 경우는 중간의 전기 저항값을 보였다.

4. 콘만 관입된 전극을 중심으로 형성된 등전위 표면은 앞선 이론식 유도에서 고려한 콘 팁 부분과 유사하였고, 콘형 팁을 가진 원기둥 전극의 전위 분포는 콘만 관입된 전극과 비교하여 상대적으로 크게 형성되었다. 또한, 콘만 관입된 전극에서 더 낮은 전위를 보이는데, 이는 전극의 등전위 표면적이 클수록 전류가 잘 흐르기 때문이다.

5. 동일한 콘형 팁을 가진 원기둥 전극 형상을 가지지만 원기둥 부분의 전기적 특성이 각각 부도체와 도체로 다른 경우일 때 형성되는 전위와 전류 흐름 분포를 분석하였다. 전극 전체가 도체인 경우, 전극을 중심으로 표면을 따라 대칭성 전위 분포가 형성되지만, 전극의 콘 부분만 도체일 경우, 부도체인 원기둥 부분의 표면을 따라 상대적으로 작은 크기의 비대칭성 등전위 표면적을 보였다. 또한, 부도체의 높은 전기비저항의 영향으로 깊이 방향(Z direction)을 따라 형성된 전위의 간격이 지표면에 가까워질수록 넓어지며 그로 인해 지표면에서의 전위는 상대적으로 낮게 나타났으며 등전위 표면의 변화로 인해 지표면을 향한 전류 흐름이 발생하였다.

6. 전극 형상은 다르지만, 동일한 전극 표면을 가진 전극의 전기 저항 차이를 정량적으로 분석하기 위해 다른 세 개의 전극들(원기둥, 반구형 팁을 가진 원기둥, 콘형 팁을 가진 원기둥)을 반구로 표면적을 등가 치환하였다. 원기둥 및 반구형 팁을 가진 원기둥 전극에서는 전극 사이 거리가 전극 반지름에 4배 이상일 때 등가 반구형 전극의 전기 저항과 2% 미만의 차이를 보이지만, 콘형 팁을 가진 원기둥 전극은 20% 이상 차이를 보였다. 따라서, 연약 지반에서 사용되는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극을 사용하여 현장 전기비저항 탐사를 할 때, 측정된 전기 저항을 등가 반구형으로 치환한 형상 계수를 적용할 경우, 환산된 전기비저항 값에 계산 오차가 발생할 수 있음을 주의해야 한다.

Acknowledgements

본 연구는 한국전력공사 자체연구개발과제(R21SA02)의 지원으로 수행되었습니다. 이에 감사드립니다.

저자 기여도

김태영은 원고 작성 및 검토 / 수치 해석 및 데이터 분석을 하였고, 이승훈은 원고 작성 및 데이터 분석을 하였고, 류희환은 연구 개념 및 설계 / 원고 검토를 하였고, 정성훈은 연구 개념 및 설계 / 원고 작성 및 원고 검토를 하였다.

References

Baishiki, R.S., Osterberg, C.K., Dawalibi, F. (1987), “Earth resistivity measurements using cylindrical electrodes at short spacing”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 2, No. 1, pp. 64-71. 10.1109/TPWRD.1987.4308074

Chiu, H.T., Liu, Y.L., Lin, C.W., Shong, Z.J., Tsai, P.A. (2013), “Thermal conductivity and electrical conductivity of silicone rubber filled with aluminum nitride and aluminum powder”, Journal of Polymer Engineering, Vol. 33, No. 6, pp. 545-549. 10.1515/polyeng-2013-0025

COMSOL Multiphysics^® (2022), “AC/DC module user’s guide (version 6.1)”, COMSOL AB, Stockholm, Sweden.

Ho, C.Y., Chu, T.K. (1977), Electrical resistivity and thermal conductivity of nine selected AISI stainless steels, Center for Information and Numerical Data Analysis and Synthesis, Purdue University West Lafayette, pp. 1-12.

Hong, C.H., Chong, S.H., Hong, E.S., Cho, G.C., Kwon, T.H. (2019a), “Theoretical and experimental studies on influence of electrode variations in electrical resistivity survey for tunnel ahead prediction”, Journal of Korean Tunnelling and Underground Space Association, Vol. 21, No. 2, pp. 267-278. 10.9711/KTAJ.2019.21.2.267

Hong, C.H., Chong, S.H., Cho, G.C. (2019b), “Theoretical study on geometries of electrodes in laboratory electrical resistivity measurement”, Applied Sciences, Vol. 9, No. 19, 4167. 10.3390/app9194167

Hong, C.H., Kim, J.S., Chong, S.H. (2022), “Theoretical resistance in cylindrical electrodes with conical tip”, Geomechanics and Engineering, Vol. 30, No. 4, pp. 337-343.

De Melo, L.B.B., Silva, B.M., Peixoto, D.S., Chiarini, T.P.A., De Oliveira, G.C., Curi, N. (2021), “Effect of compaction on the relationship between electrical resistivity and soil water content in oxisol”, Soil and Tillage Research, Vol. 208, 104876. 10.1016/j.still.2020.104876

Ryu, H.H. (2010), Development of a tunnel electrical resistivity prospecting system and its application, Ph.D. Dissertation, Department of Civil and Environmental Engineering, Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST), pp. 269.

Ryu, H.H., Cho, G.C., Sim, Y.J., Lee, I.M. (2008), “Detection of anomalies in particulate materials using electrical resistivity survey-enhanced algorithm”, Modern Physics Letters B, Vol. 22, No. 11, pp. 1093-1098. 10.1142/S0217984908015899

Ryu, H.H., Cho, S.A., Kim, K.Y., Cho, G.C. (2017), “Exploration of underground utilities using method predicting an anomaly (II) - field application”, Journal of Korean Tunnelling and Underground Space Association, Vol. 19, No. 3, pp. 449-461. 10.9711/KTAJ.2017.19.3.449

Ryu, H.H., Kim, K.Y., Lee, K.R., Lee, D.S., Cho, G.C. (2015), “Exploration of underground utilities using method predicting an anomaly”, Journal of Korean Tunnelling and Underground Space Association, Vol. 17, No. 3, pp. 205-214. 10.9711/KTAJ.2015.17.3.205

Journal of Korean Tunnelling and Underground Space Association ISSN:2233-8292(Print) 2287-4747(Online) 한국터널지하공간학회 논문집

Preview

Influence of electrode geometry on electrical resistivity survey: Numerical study

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Fig. 1.

Schematic of equipotential and current flow line between two electrodes penetrated on medium. An arbitrary point (x) is the distance from electrode surface to equipotential line

Fig. 2.

Mesh and geometry adopted in this study. Domain size is 20 m (W) × 20 m (D) × 20 m (H). The W1 and W2 lengths are changed when two electrodes are installed in the different location (other lengths are the same)

Fig. 3.

Comparison of theory with numerical simulation and isosurface of electrical resistance around terminal electrode according to four electrode shapes. Solid lines are obtained from theoretical Eqs. (10), (13), (16), and (19), respectively. The electrode geometry refers to Table 1

Table 1.

Electrode geometry and electrical resistivity used in this study

Fig. 4.

Distribution of electrical resistance with four electrode shapes. The distance between electrodes L is fixed as 0.5 and 10 m in all cases, respectively

(20)

Fig. 5.

Variation of electrical resistance for cone electrode and cylindrical electrode with conical tip under different electrical characteristics. Solid and dashed lines are obtained from theoretical Eqs. (19) and (20), respectively

Fig. 6.

Distribution of electric potential and current flow with cylindrical electrode with conical tip under different electrical characteristics. The distance between electrodes L are fixed as 0.5 m

(21)

(22)

(23)

Fig. 7.

Electrical resistance of three electrodes and corresponding equivalent half-sphere electrodes. Solid lines are obtained from theoretical Eqs. (13), (16), and (19), respectively. Dashed lines are obtained from theoretical Eq. (10)

Acknowledgements

저자 기여도

References

Mesh and geometry adopted in this study. Domain size is 20 m (W) × 20 m (D) × 20 m (H). The W₁ and W₂ lengths are changed when two electrodes are installed in the different location (other lengths are the same)