1. 서 론

지하공동의 발달과 붕괴는 지반 물질의 유실 또는 용해로 형성된 공동이 초기 응력상태를 교란하고, 시간에 따른 강도 저하와 공동 상부 지반의 소성변형이 결합하면서 지표 방향으로 확대되는 단계적 과정이다. Gutiérrez et al. (2014)은 자연적·인위적 카르스트 지질재해를 종합하여 공동의 형성조건, 붕괴 유발요인 및 지표영향이 복합적으로 연계됨을 제시하였다. 저강도 지반에서는 공동 상부의 처짐과 함께 점진적 침하가 발달할 수 있다. 반면 상대적으로 강한 지반에서는 아칭효과로 일시적인 안정상태가 유지되다가 천단 상부의 파괴영역이 공동과 연결되면 급격한 붕괴로 전환될 수 있다. Al-Halbouni et al. (2018)은 개별요소해석을 통해 공동의 단계적 확대와 상부 붕괴를 모사하고, 지반 강도에 따라 처짐형과 급격한 붕괴형 거동이 구분됨을 제시하였다.

도시지역의 지하공동은 노후 상·하수관의 누수, 되메움재의 세립분 유실, 지하수위 변동, 반복 교통하중 및 지반의 불균질성이 복합적으로 작용하여 형성될 수 있다. Mukunoki et al. (2012)은 손상된 지중관로 주변 모형지반의 반복 침투·배수 실험과 X선 CT 분석을 통해 세립분 유출, 지반 이완 및 공동 발달과정을 관찰하였다. Sato and Kuwano (2015)는 지중구조물의 위치가 내부침식에 의한 공동 성장경로에 미치는 영향을 규명하였다. 초기의 토립자 유실은 국부적인 지반 이완과 공극 확대를 유발하며, 유실이 지속되면 공극이 연결되어 하중을 지지하는 유효 단면과 하중전달능력이 감소한다. 공동 상부에서는 아칭효과가 상재하중을 일시적으로 측방에 전달하지만, 천단부의 인장응력과 측벽의 전단변형이 누적되면 아칭효과가 약화되고 파괴영역이 상향으로 발달한다. 이러한 거동은 점진적인 지표침하로 나타나거나, 공동 상부 토피가 한계상태에 도달하면 급격한 지반함몰로 전환될 수 있다.

공동의 위험도는 현재의 공동 규모만으로 합리적으로 평가하기 어렵다. 공동반경이 같더라도 토피고, 점착력, 내부마찰각, 초기응력, 함수상태 및 지반 물성의 시간 의존적 변화에 따라 공동의 안정성과 붕괴양상이 달라질 수 있다. 지표침하가 작더라도 공동 천단부의 국부 파괴영역이 상부로 연결되면 급격한 붕괴가 발생할 수 있으며, 비교적 큰 침하가 발생하더라도 소성변형이 분산되면 점진적인 처짐형 거동이 지속될 수 있다. 따라서 수치해석에서는 공동 형상과 지표침하뿐 아니라 침하속도, 소성변형률 분포, 파괴영역의 연결성, 요소 제거 이력 및 에너지 응답을 함께 검토해야 한다.

선행연구는 지반 강도와 공동의 기하조건이 공동의 안정성과 파괴양식을 지배하는 핵심 인자임을 일관되게 제시해 왔다. Augarde et al. (2003)은 유한요소 상·하한계해석을 이용하여 비배수 조건의 지반 공동의 붕괴하중을 정량화하였고, Soliman et al. (2021)은 유한차분해석을 통해 공동 규모, 토피고 및 지반 강도에 따라 천단 인장파괴와 공동 주변의 과도한 소성항복이 구분됨을 보였다. Keawsawasvong and Ukritchon (2019)은 점성토 내 구형 공동의 유한요소 한계해석으로 토피비와 상재하중이 붕괴기구 및 안정계수에 미치는 영향을 정량화하였다. 최근 Park et al. (2024)은 현장 조사자료와 유한요소해석을 결합하여 공동 크기와 상부 토층강도를 기반으로 한 싱크홀 안정성 도표를 제안하였다.

공동의 시간적 발달과 지반함몰을 설명하려면 현재의 안정성뿐 아니라 토사유실에 따른 공동 경계의 이동, 아칭효과의 형성과 소산, 파괴영역의 연결과정을 함께 고려해야 한다. Al-Halbouni et al. (2019)은 복수 공동의 불균등한 성장과 심도 차이가 국부적인 응력집중과 개별 싱크홀 붕괴를 촉진하는 반면, 같은 심도에서 공동이 균등하게 성장하면 넓은 범위의 아칭효과와 블록형 침하가 발생할 수 있음을 제시하였다. 이들 연구는 재료강도, 공동의 기하조건 및 물질유실 경로의 상호작용을 규명하였다. 그러나 장기적인 지반 물성 저하가 토사유실 이후 응력 재분배와 파괴영역의 연결을 거쳐 공동의 상향 확대로 이어지는 전 과정을 다룬 연구는 제한적이며, 공동 확대와 지표침하 사이의 단계적 관계도 충분히 규명되지 않았다.

기존 연구는 공동의 붕괴하중이나 최종 파괴형상에 주로 초점을 두었기 때문에, 토사유실이 지속되는 동안 공동 주변 지반이 하중을 재분담하고 잠재 파괴경로가 형성되는 중간 과정을 설명하는 데 한계가 있다. 특히 누적 토사유실량이 같더라도 아칭효과가 유지되어 침하가 제한되는 조건과 천단부의 소성영역이 상부로 연결되어 급격한 공동 확대가 발생하는 조건을 구분할 필요가 있다. 이러한 거동 차이는 초기 공동 규모와 토피고뿐 아니라 점착력, 내부마찰각 및 시간 의존적 물성 저하에 따른 공동 안정성의 변화와 관련된다.

공동 성장 메커니즘을 수치적으로 식별하려면 토사유실에 의한 경계 이동과 주변 지반의 파괴에 의한 공동 확대를 구분해야 한다. 본 연구에서는 공동 하부의 토사유실을 공동 성장을 유도하는 주요 요인으로 설정하고, 토사유실 이후의 응력 재분배와 소성변형의 국부화에 의해 파괴영역이 공동과 연결될 때만 공동이 추가로 확대되도록 하였다. 누적 토사유실량, 공동 주변의 소성변형 분포, 지반 파괴에 따른 공동 확대량 및 지표침하를 동일한 시간축에서 비교하여 공동 성장단계와 불안정 전이조건을 분석하였다.

본 연구의 목적은 시간 의존적 지반열화와 토사유실이 함께 작용하는 조건에서 지하공동의 상향 성장 메커니즘을 규명하고, 점진 침하형 거동과 급격한 붕괴형 거동을 구분하는 지배인자를 평가하는 데 있다. 이를 위해 토사유실에 따른 공동 경계의 이동과 주변 지반의 파괴를 구분하여 공동 성장경로를 추적하였다. 또한 열화·강도·기하 인자가 아칭효과의 유지와 파괴영역의 연결에 미치는 상대적 영향을 비교하고, 지표침하와 소성영역의 연결성 및 파괴에 의한 공동 확대를 함께 고려하는 위험도 평가 지표를 제시하였다.

2. 수치해석 방법

2.1 해석모델 및 기본 조건

해석모델은 Abaqus/Explicit을 이용한 2차원 평면변형 조건으로 구성하였다. 해석영역의 폭과 높이는 각각 60 m와 40 m이며, 초기 공동은 해석영역의 수평 중앙부에 배치하였다. 토피고 H는 공동 천단에서 지표면까지의 수직거리로 정의하였다. 바닥 경계에서는 수평·수직 변위를 모두 구속하고 좌우 경계에서는 수평변위만 구속하였으며, 지표면은 자유경계로 설정하였다. 중력가속도 9.81 m/s²는 관성효과가 충분히 억제된 자중평형 상태를 형성하도록 10 s 동안 smooth-step 함수로 점진적으로 재하하였다. 지하수와 간극수압의 영향은 본 연구범위에서 제외하였다.

초기 자중평형 단계에서는 초기 공동 형성영역에 임시 채움 요소를 배치한 후, 평형 상태에 도달하면 해당 요소를 제거하여 초기 공동을 형성하였다. 공동 하부에는 내부침식에 의해 공동 내부로 유입·유실될 수 있는 토사의 범위를 내부침식에 의한 토사유실 영역(internal erosion-induced soil-loss zone)으로 설정하였다. 이 영역의 요소는 정해진 순서에 따라 제거하여 토사유실에 따른 공동 경계의 변화를 구현하였다. 반면, 공동 주변 지반요소는 파괴조건과 기존 공동과의 연결조건을 모두 만족하는 경우에만 제거되도록 하였다. 따라서 공동의 상향 또는 측방 확대는 사전에 방향을 부여한 결과가 아니라, 토사유실 이후의 응력 재분배와 주변 지반의 파괴거동에 따라 결정된다.

사전 설정한 토사유실 영역의 단계적 요소 제거는 침투류나 토립자 이동을 직접 계산한 결과가 아니라, 내부침식에 따른 세립분 유실 또는 토사의 하향 이동으로 공동 경계가 변화하는 과정을 수치적으로 구현한 것이다. 이에 따라 사전 설정한 토사유실 영역에서 발생한 요소 제거는 내부침식에 의한 토사유실로, 이후 공동 주변에서 응력·소성변형·손상 조건에 의해 발생한 요소 제거는 지반 파괴에 따른 공동 확대로 구분하였다. 이러한 구분을 통해 누적 토사유실량이 동일한 경우에도 지반의 강도와 공동의 기하조건에 따라 공동의 성장경로가 어떻게 달라지는지를 평가하였다.

2.2 수치모델 구성

지반과 토사유실 영역에는 4절점 축소적분 평면변형 요소 CPE4R을 사용하고, 초기 공동 형성영역의 임시 채움 요소에는 3절점 평면변형 삼각요소 CPE3를 사용하였다. 기준 입력자료는 5,881개 절점, 5,760개 CPE4R 지반요소 및 120개 CPE3 임시 채움요소로 구성된다. 공동 주변과 예상 파괴경로에는 방사형으로 세분된 구조화 격자를 사용하고 외곽으로 갈수록 요소 크기를 점진적으로 증가시켰다. 각 매개변수 해석조건은 동일한 요소 연결관계를 유지하면서 토피고와 공동반경에 맞추어 절점 좌표를 재생성하였다.

Fig. 1에는 해석영역의 크기와 경계조건, 초기 공동과 내부침식에 의한 토사유실 영역(internal erosion-induced soil-loss zone)의 위치 및 공동 주변의 세분 요소망을 제시하였다. 모든 해석조건에 동일한 요소 연결관계를 적용하였으며, 토피고와 공동반경이 달라지는 경우에는 해당 기하조건에 맞추어 절점좌표만 재생성하였다.

Fig. 1.

Initial finite-element mesh, engineering dimensions, cavity geometry, the prescribed soil-loss zone representing internal erosion, and displacement boundary conditions

공동 경계가 확대된 뒤 분리된 지반 블록과 미파괴 지반 사이의 재접촉을 고려하기 위해 일반 접촉(general contact)과 Coulomb 마찰계수 0.4를 적용하였다. 삭제된 요소는 후속 단계의 질량, 강성 및 접촉 계산에서 제외하였다. 급격한 공동 확대로 발생하는 고주파 수치진동을 제어하기 위해 Abaqus/Explicit의 선형 및 이차 체적 점성 압력을 다음 식으로 정의하였다.

식 (1)에서 p1과 p2는 각각 선형 및 이차 체적 점성 압력, b1과 b2는 해당 감쇠계수, 𝜌는 현재 밀도, cd는 현재 팽창파 속도, Le는 요소 특성길이, ε·vol은 체적변형률속도이다. 이차항은 압축 체적변형률속도에서만 활성화된다. 본 해석에는 b1 = 0.06과 b2 = 1.2를 적용하고, Rayleigh 질량비례 감쇠계수 𝛼 = 2.0을 사용하였다. 이 값들은 재료 보정값이 아니라 고주파 진동과 급격한 체적변형을 억제하기 위한 수치 매개변수이며, 그 영향은 단계별 운동에너지/내부에너지 비로 확인하였다.

Table 1에는 모든 해석조건에 공통으로 적용한 해석영역, 요소 구성, 경계·하중 조건, 접촉 및 수치 안정화 조건을 정리하였다. 해석조건별로 토피고 H와 초기 공동반경 R만 변경하였고, 체적점성과 질량비례 감쇠를 포함한 나머지 조건은 동일하게 유지하였다. 수치 안정화 매개변수의 적정성은 단계별 운동에너지와 내부에너지의 비(KE/IE)를 이용하여 확인하였다.

2.3 구성모델과 지배식

지반의 항복조건에는 Drucker-Prager 항복기준을 적용하고, 소성변형 증분에는 팽창각 𝜓로 정의되는 비연관 유동법칙(non-associated flow rule)을 사용하였다. 압축을 양(+)으로 정의한 평균응력 p와 Mises 등가응력 q를 사용하면 Drucker-Prager 항복함수와 비연관 소성퍼텐셜은 각각 다음과 같다.

식 (2), (3), (4)에서 F는 Drucker-Prager 항복함수, Q는 비연관 유동법칙의 소성퍼텐셜이다. p는 압축을 양(+)으로 정의한 평균응력이고, J2는 편차응력의 제2불변량이며, q=3J2는 Mises 등가응력이다. c와 𝜙는 해당 정규화 시간 𝜏에서의 점착력과 내부마찰각, 𝜓는 팽창각이다. Aϕ와 B는 각각 항복면의 마찰성 기울기와 점착성 절편을, Aψ는 비연관 소성 유동방향을 결정한다. 본 해석에서는 𝜓 = 5°를 사용하였다.

탄성 예측 후 F > 0이면 비연관 소성퍼텐셜에 따른 응력 반환 알고리즘으로 소성 보정하며, 소성승수 증분은 다음 식으로 계산하였다.

식 (5)에서 𝛥𝜆는 소성승수 증분, Ftrial은 탄성 시행응력 상태에서 평가한 항복함수 값, Gs는 전단탄성계수, K는 체적탄성계수이다. 𝛥𝜆로부터 편차응력과 평균응력을 각각 수정하고 소성변형률 텐서를 갱신하였다. 이 텐서로부터 산정한 등가 소성변형률의 이력 최대값은 SDV1에 저장하였다. 인장영역에서는 시간 의존 인장강도 ft(τ)를 한계로 하는 인장 한계 기준(tension cut-off criterion)을 병행하였다. 따라서 본 구성모델은 Drucker-Prager 항복기준, 비연관 유동법칙 및 인장 한계 기준을 VUMAT으로 구현한 탄소성 모델이다.

2.4 시간 의존적 열화모델

경과시간 T, 해석영역 내 각 위치의 열화 개시시간 Ton 및 기준 열화기간 Tref를 정의하였다. 초기 공동 경계로부터의 거리 d가 클수록 열화 개시가 지연되도록 설정하였으며, 열화 개시 후 노출시간 Texp와 정규화 노출시간 τ(0≤τ≤1)를 이용하여 공통 물성저감함수 𝜂를 산정하였다.

식 (6)에서 T는 경과시간(년), d는 초기 공동 경계로부터 해당 위치까지의 최단거리(m), Ton은 국부 열화 개시시간(년), Texp는 열화 개시 후 노출시간(년), Tref는 기준 열화기간(10년), 𝜏는 정규화 노출시간, 𝜂는 물성저감함수이다. 열화 전개계수 vdeg는 해석 step당 열화영역의 공간적 확장량으로 정의하였다. vdeg = 0.04 m/step과 Teq = 45 step을 적용하였다. 따라서 공간 기준거리 Lf는 vdeg × Teq = (0.04 m/step) × (45 step) = 1.8 m로 산정하였다. 여기서 step은 열화 진행 순서를 나타내는 계산 단위이며, m/step과 step이 상쇄되므로 Lf의 단위는 길이(m)이다. 이 값에 따라 공동에서 멀어질수록 열화 개시가 지연되도록 하였으며, 기준기간 이후에도 물성이 설정된 하한값보다 감소하지 않도록 𝜏의 상한을 1로 제한하였다. 열화지수 Dt는 1-𝜂로 정의하여 SDV10에 저장하였다. 열화규모계수 k는 기준기간 말의 잔류 물성비 ηf=exp(-k)를 결정하고, 시간형상계수 n은 열화가 시간축에서 집중되는 시기를 결정한다.

식 (7), (8), (9), (10), (11)에서 E, c, 𝜙 및 ft는 각각 탄성계수, 점착력, 내부마찰각 및 인장강도이고, Ds는 0–1 범위의 누적 전단손상이다. 아래첨자 0은 초기값을 나타내며, Eres, cres 및 ϕres는 시간 의존적 열화와 전단손상에 각각 적용되는 물성별 하한 물성비이다. sE, sc 및 sϕ는 공통 물성저감함수 𝜂가 각 물성에 반영되는 정도를 조절하며, 기준값은 각각 0.75, 0.90 및 0.20이다. χE, χc 및 χϕ는 식 (10)의 전단손상 저감계수이고 ϕres는 tan𝜙에 적용된다. 시간 의존적 열화와 전단손상의 저감효과는 곱셈 형태로 결합되므로, 각 하한 물성비는 전체 물성의 절대 하한값을 의미하지 않는다. 인장강도 ft는 중복 저감을 피하기 위해 𝜂에만 의존하도록 하였다.

Table 2에는 기준 조건의 초기 지반 물성과 공동 확대에 관련된 열화·파괴 매개변수를 정리하였다. E0 = 50 MPa, c0 = 25 kPa, 𝜙₀ = 30°를 포함한 기준 물성값과 물성저감계수는 특정 현장의 조사자료를 역해석하여 산정한 값이 아니라, 영향인자별 상대적 차이를 비교하기 위해 설정한 대표값이다. 따라서 본 연구의 해석 결과는 개별 현장의 절대적인 거동을 예측하는 값이 아니라 설정한 범위 내에서 인자별 영향을 비교하는 데 사용하였다. 초기 탄성계수와 강도정수는 공동 형성 후 아칭효과와 소성영역의 발달을 지배하며, 공간 기준거리와 물성별 하한값은 열화영역의 범위와 열화 후 잔류강도를 결정한다. 파괴에너지와 손상 임계값은 변형률 연화가 진행된 파괴영역이 공동과 연결되어 공동이 확대되는 시점을 결정한다. Table 3에서 변화시킨 열화계수, 강도정수 및 공동의 기하조건을 제외한 나머지 매개변수는 모든 조건에 동일하게 적용하였다.

2.5 변형률 연화에 따른 손상 진전 및 요소 제거 알고리즘

지반의 압축·전단 파괴에는 Drucker-Prager 항복조건을, 소성변형에는 비연관 유동법칙을 적용하였다. 내부마찰각 𝜙와 팽창각 𝜓는 각각 항복면의 기울기와 소성 유동방향을 결정한다. 재료의 강도는 시간 의존적 열화와 누적 소성변형에 따른 변형률 연화로 첨두강도에서 잔류강도로 감소하며, 인장영역에는 인장 한계 기준(tension cut-off criterion)을 적용하였다. 전단 및 인장 연화구간에는 파괴에너지와 요소 특성길이에 기반한 변위 정규화를 적용하여 요소망 의존성을 완화하였다.

전단손상 개시 등가소성변형률, 시간에 따른 전단·인장 파괴에너지, 전단 연화 종료 등가변위 및 인장 연화 종료 등가변위는 다음과 같이 정의하였다.

식 (12), (13)에서 εpc는 전단손상 개시 등가소성변형률, εp0는 초기 손상 개시값, rε는 손상 개시변형률의 잔류계수이다. Gfs와 Gft는 각각 전단 및 인장 파괴에너지이고, Gfs0와 Gft0는 각 파괴에너지의 초기값이다. ru는 전단 파괴에너지의 잔류계수이며, m은 인장 파괴에너지의 시간 변화를 결정하는 지수이다. ufs와 uft는 각각 전단강도가 잔류강도에 도달하는 전단 연화 종료 등가변위와 인장강도가 소실되는 인장 연화 종료 등가변위이다. 요소 특성길이 Le를 이용하여 비탄성변형률을 등가변위로 변환함으로써 변형률 연화 거동의 요소망 의존성을 완화하였다.

상태변수는 공동 성장의 원인과 결과를 구분할 수 있도록 정의하였다. SDV1은 소성변형률 성분으로 산정한 등가소성변형률의 이력 최대값이며, 공동 주변의 소성변형 국부화 정도를 나타낸다. SDV10은 열화지수 Dt=1-η로서 주변 지반의 물성 저하 정도를 나타낸다. SDV20은 요소 제거의 원인을 구분하는 상태코드이며 1은 인장파괴, 2는 전단파괴, 3은 사전 설정한 토사유실을 의미한다. 이를 이용하여 토사유실에 따른 공동 경계의 이동과 주변 지반의 파괴에 의한 공동 확대를 구분하여 추적하였다.

공동 주변의 지반요소는 열화지수만으로 제거되지 않는다. 인장파괴 모드는 인장손상과 소성변형 조건을, 전단파괴 모드는 전단손상과 누적소성변형 조건을 각각 만족해야 한다. 두 파괴모드 모두 해당 요소가 초기 공동 또는 기존 제거요소와 기하학적으로 연결된 경우에만 공동 확대 요소로 판정하였다. 공동 하부의 사전 지정 토사유실은 별도로 분류하였으며, 연결성 조건을 적용하여 기존 공동과 분리된 위치에서 요소가 독립적으로 제거되는 현상을 방지하였다.

열화에 따른 물성 저하, 응력 재분배, 파괴영역의 연결 및 공동 경계 갱신의 계산절차를 Fig. 2에 정리하였다. 시간 경과에 따른 물성 저하와 역학적 평형 회복을 분리하고 각 연도 말에 손상상태와 공동 경계를 갱신함으로써, 이전 단계에서 형성된 응력·변형상태가 다음 단계로 이어지도록 하였다.

Fig. 2.

Computational sequence representing ground degradation, stress redistribution, damage-zone connectivity, and cavity-boundary progression

2.6 단계분할과 수치 안정성

각 경과연도는 물성 저하 단계(AGE), 응력 재분배 및 평형 회복 단계(RELAX), 파괴영역의 연결성과 공동 경계 갱신 여부를 판정하는 단계(CHECK)로 구분하였다. 시간 의존적 열화 후 지반의 응력이 재분배되고, 공동과 연결된 파괴영역이 제거조건을 만족할 때 공동이 확대되도록 단계별 해석절차를 구성하였다.

응력 재분배 단계가 관성응답이 아니라 준정적 평형 회복을 나타내는지는 운동에너지와 내부에너지의 비(KE/IE)로 평가하였다. 최대 증분변위가 0.05 m 이하이고, 해석 후반부의 평균 및 최대 KE/IE가 각각 5%와 10% 이하이며, 공동과 접촉하지 않은 상태에서 강체운동하는 분리 요소군이 없을 때 지반이 새로운 평형상태에 도달한 것으로 판단하였다. 최대 증분변위가 0.5 m를 초과하고 추가적인 반복 계산에서도 감소하지 않으면 변위가 계속 증가하여 지반이 안정된 상태를 유지하지 못한 것으로 분류하였다. 네 차례의 반복 계산 후에도 평형상태에 도달하지 않고 변위의 지속적인 증가도 확인되지 않은 경우에는 계산이 수치적으로 수렴하지 않은 것으로 분류하고 물리적 거동의 비교에서 제외하였다. 변위가 계속 증가한 조건의 KE/IE는 대부분 1% 미만이었으며, C08도 약 2.03%로 나타나 관성효과가 해석 응답을 지배하지 않은 것으로 판단하였다.

2.7 매개변수 선별설계와 판정기준

기준 조건 1개와 6인자 2수준 Plackett-Burman 설계에 따른 12개 조건을 해석하였다. Plackett-Burman 설계는 제한된 해석 횟수로 여러 인자의 상대적 영향을 선별하는 2수준 직교 선별실험계획이다(Plackett and Burman, 1946). 6개 인자에 적용할 수 있는 최소 8회 설계보다 인자 배정률이 낮은 12회 설계를 채택하여, 11개 직교열 가운데 6개만 주요 인자에 배정하고 나머지 열은 사용하지 않았다. 이 구성은 8회 설계에서 대부분의 열을 인자에 배정하는 경우보다 주효과가 특정 교호작용과 중첩되는 정도를 줄이기 위한 것이다. 고려한 인자는 열화규모계수 k(0.7, 1.3), 시간형상계수 n(1.0, 2.0), 점착력(15, 35 kPa), 내부마찰각(25, 35°), 토피고(12, 20 m) 및 초기 공동반경(1.5, 2.5 m)이다. 각 인자의 주효과는 고수준의 응답 평균에서 저수준의 응답 평균을 차감하여 산정하였다. 다만 반복해석이 없는 선별설계이므로 주효과에 교호작용이 남아 있을 수 있으며, 이를 독립적인 인과효과나 최적조건으로 해석하지 않았다.

각 해석조건은 10년까지 계산을 완료한 경우, 최대 증분변위가 기준값을 초과한 뒤에도 계속 증가한 경우, 또는 반복 계산이 수치적으로 수렴하지 않은 경우로 구분하였다. 반복 계산이 수치적으로 수렴하지 않은 경우에는 이를 물리적인 붕괴로 간주하지 않았으며, 해당 조건의 붕괴 여부도 판단하지 않았다. 공동의 성장 정도는 해석이 종료된 시점만으로 판단하지 않고, 누적 토사유실량, 지반 파괴에 의한 공동 확대량, 소성영역의 연결성 및 지표침하를 함께 비교하였다. Plackett-Burman 설계에는 반복해석이 포함되지 않으므로 산정된 주효과는 정량적인 예측계수로 사용하지 않고, 어떤 인자가 공동 성장에 상대적으로 큰 영향을 미치는지를 선별하는 데 사용하였다.

Table 3은 기준 해석조건과 12개 Plackett-Burman 해석조합에 적용한 열화규모계수, 시간형상계수, 점착력, 내부마찰각, 토피고 및 초기 공동반경의 조합을 제시한다. 기준 해석조건은 중앙수준의 비교기준으로 사용하였고, 나머지 해석조건은 각 인자의 고수준과 저수준이 균형을 이루도록 배치하였다.

3. 해석 결과

3.1 기준 해석조건의 상태변수 분포

기준 조건에서 최대 증분변위가 설정한 기준값을 초과하기 직전인 10년의 해석 결과를 이용하여 공동 성장과 지반 변형의 공간적 연계를 검토하였다. 동일한 출력시점에서 Fig. 3의 열화지수 Dt(SDV10), Fig. 4의 등가소성변형률 이력 최대값(SDV1) 및 Fig. 5의 연직변위(U2)를 비교하였다. 이를 통해 공동 경계에서 시작된 물성 저하가 천단·측벽의 소성변형 국부화를 거쳐 지표침하로 이어지는 공간적 경로를 분석하였다.

Fig. 3의 열화지수 Dt는 공동 경계에서 최대 약 0.624였으며 외곽으로 갈수록 감소하였다. 시간 의존적 물성 저하는 공동에 인접한 제한된 영역에서 먼저 발생하였다. 다만 Dt는 파괴 여부가 아니라 전단강도의 저하 정도를 나타내므로, 공동의 확대는 Fig. 4의 소성변형 집중과 실제 공동 형상의 변화를 함께 고려하여 판정하였다.

Fig. 3.

Time-degradation index Dt(SDV10) at the final stable state of the reference condition

Fig. 4.

Maximum tensor-equivalent plastic strain (SDV1) at the same output state as Fig. 3

Fig. 4에서 소성변형은 공동의 천단과 측벽을 따라 아치 형태로 집중되었으며, 천단 상부에는 연속적인 국부화 영역이 형성되었다. 이 영역은 Fig. 3의 열화영역과 대체로 중첩되므로, 물성 저하가 공동 경계부의 응력 재분배와 소성변형의 국부화를 촉진한 것으로 해석된다. 그러나 열화영역 전체가 파괴된 것은 아니며, 기존 공동과 연결된 천단 상부의 소성영역이 공동 확대와 지표침하를 지배하는 잠재 파괴경로로 나타났다.

Fig. 5에서 하향 연직변위는 공동 천단과 직상부 지반에 집중되었으며, 그 영향영역이 지표면 중앙부까지 연속적으로 발달하였다. U2는 약 +0.042 m에서 -0.845 m의 범위로 나타나 공동 주변의 국부 변형이 상부 토피를 거쳐 지표까지 전달되었음을 확인하였다. Figs. 3, 4, 5를 종합하면, 공동 성장은 열화영역의 확대만으로 결정되지 않으며 천단부의 소성영역이 상부 지반으로 연결되면서 지표침하가 증가하는 과정으로 해석된다.

Fig. 5.

Vertical displacement (U2) at the same output state as Figs. 3 and 4

3.2 연도별 변화와 전체 해석조건 비교

파괴에 의한 추가 공동 확대 없이 토사유실이 10년 동안 지속된 C09를 대상으로 공동 주변 지반의 시간적 변화를 검토하였다. C09는 아칭효과가 유지되는 조건에서 물성 저하와 소성변형이 누적되는 양상을 나타내는 비교조건이다. Figs. 6, 7, 8의 연도별 열화지수, 등가소성변형률 및 추가 지표침하를 이용하여 점진 침하형 공동 성장 과정을 분석하고, 이를 조기에 한계상태에 도달한 조건과 비교하였다.

Fig. 6에서 C09의 열화영역은 초기 공동 경계에 한정되어 시작한 뒤 시간 경과에 따라 상부와 측벽 방향으로 두꺼워졌다. 이 변화는 공동 주변 지반의 강도와 강성이 공간적으로 점진 저하되는 과정을 나타내지만, 열화영역의 확대 자체가 공동 경계의 파괴로 이어지지는 않았다.

Fig. 6.

Time-degradation index Dt(SDV10) at 1, 3, 7, and 10 years for Run C09

Fig. 7에서 소성영역은 공동 하부의 토사유실과 공동 경계부의 응력집중으로 먼저 형성된 후 측벽과 천단을 따라 확대되었다. 10년 동안 지반 파괴에 의한 추가 공동 확대가 발생하지 않았으므로, C09에서는 하중 재분배와 국부 변형이 지속되었음에도 아칭효과가 유지된 것으로 해석된다. 따라서 소성변형의 발생 여부보다는 천단 상부로 이어지는 소성영역의 연결성과 그 발달속도가 불안정 전이를 판단하는 데 더 중요하다.

Fig. 7.

Maximum tensor-equivalent plastic strain (SDV1) at 1, 3, 7, and 10 years for Run C09

Fig. 8은 초기 공동 형성 후 평형상태를 기준으로 산정한 C09의 추가 지표침하 이력이다. 초기 공동 형성 직후 발생한 즉시침하 4.04 mm는 기준값에서 제외하였다. 추가 침하는 1–2년에 거의 발생하지 않았으나, 토사유실 요소 수가 50개에서 336개로 증가한 2–5년에 뚜렷하게 증가하여 7년에 5.11 mm, 10년에 8.02 mm에 도달하였다. 이 결과는 안정한 조건에서도 토사유실에 따른 공동 확대가 지표침하를 유발하지만, 소성변형이 분산되고 아칭효과가 유지되면 침하가 제한될 수 있음을 나타낸다.

Fig. 8.

Additional surface settlement relative to the equilibrium state after initial cavity formation in Run C09

총 13개 조건 중 9개에서는 최대 증분변위가 기준값을 초과한 뒤에도 계속 증가하였고, C09와 C10은 10년 동안 안정적인 변형 수준을 유지하였다. C03과 C06은 반복 이완 단계의 수렴기준을 충족하지 못했으므로, 수치적으로 계산된 결과만으로 물리적인 공동 성장이나 붕괴 여부를 판단하지 않았다. 따라서 Fig. 9의 해석 종료시점과 Fig. 10의 침하량은 단독으로 해석하지 않고 공동 확대 및 소성영역의 발달과 함께 검토하였다.

Fig. 9는 각 조건에서 최대 증분변위가 기준값을 초과한 시점 또는 10년 동안 안정상태가 유지된 기간을 비교한 것이다. C02, C05 및 C08에서는 해석 1년째부터 최대 증분변위가 기준값을 초과한 뒤에도 계속 증가한 반면, C09와 C10에서는 10년 동안 아칭효과와 하중전달능력이 유지되었다. 이러한 차이는 하나의 열화 매개변수보다 점착력, 내부마찰각, 토피고 및 공동반경의 조합으로 결정되는 초기 안정상태에 더 크게 좌우되었다.

Fig. 9.

Analysis endpoint for each run: displacement continued to increase beyond the prescribed limit, the relaxation calculation did not converge, or the 10-year analysis was completed

Fig. 10에서 C08의 최대 지표침하는 약 1.31 m로 가장 컸다. 이 조건에서는 토사유실이 시작되기 전에 주변 지반요소 10개가 파괴되어 초기 공동 형성만으로 파괴영역의 연결과 공동 확대가 발생하였다. 기준 조건과 C05에서도 각각 약 993.8 mm와 716.5 mm의 큰 침하가 발생한 반면, C09와 C10의 10년 후 침하는 각각 약 12.1 mm와 6.9 mm에 그쳤다. 이러한 차이는 장기 누적 토사유실량보다 초기 공동 규모와 지반 강도에 의해 결정되는 아칭효과의 유지 여부가 급격한 침하 전이를 지배함을 나타낸다.

Fig. 10.

Final surface settlement for each run. Red indicates that displacement continued to increase beyond the prescribed limit, yellow indicates that the relaxation calculation did not converge, and blue indicates completion of the 10-year analysis

3.3 해석조건별 정량 결과

Table 4에는 각 조건에서 해석이 종료된 상태와 시점, 토사유실 및 지반 파괴에 의해 제거된 요소 수, 최종 지표침하를 정리하였다. 해석이 같은 방식으로 종료된 조건에서도 침하량과 지반 파괴에 의한 공동 확대량이 크게 달라 공동 성장을 하나의 지표만으로 평가하기 어려웠다. 토사유실 요소 수는 해석에 사전 지정한 누적 토사유실량을, 파괴요소 수는 주변 지반의 파괴영역이 기존 공동과 연결되면서 발생한 공동 확대량을 나타낸다. 반복 계산이 수치적으로 수렴하지 않은 조건의 값은 계산이 정상적으로 완료된 마지막 출력시점에서 산정하였으며, 조건 간 경향을 비교하는 자료로만 사용하였다.

3.4 변수의 주효과

Fig. 11의 주효과는 각 인자가 공동 주변 지반의 안정성과 성장응답에 미치는 상대적 방향을 나타낸다. 내부마찰각의 증가는 변위가 지속적으로 증가하기 시작한 평균 시점을 약 3.5년 지연시키고 평균 지표침하를 약 380 mm 감소시켜 가장 큰 안정화 효과를 나타냈다. 점착력의 증가는 이 시점을 약 2.2년 지연시키고 침하를 약 290 mm 감소시켰다. 반면 공동반경의 증가는 이 시점을 약 3.5년 앞당기고 침하를 약 240 mm 증가시켰다. 따라서 공동 성장 초기에는 지반의 전단강도와 공동 폭이 이후 파괴영역의 연결 여부를 지배하는 것으로 해석된다.

열화규모계수 k와 시간형상계수 n의 평균효과는 강도 및 공동반경보다 작았지만, 이는 열화의 영향이 작다는 의미가 아니다. C09처럼 높은 점착력과 작은 공동반경이 결합된 조건은 낮은 내부마찰각에도 10년 동안 안정상태를 유지하였다. 따라서 열화는 독립적인 붕괴 원인이라기보다 강도와 공동의 기하조건이 제공하는 아칭효과와 전단저항을 점진적으로 감소시키는 시간 의존적 불안정 촉진요인으로 해석하는 것이 타당하다.

Fig. 11.

Main effects from the Plackett-Burman design (high-level mean minus low-level mean)

4. 고 찰

4.1 공동 상향 확대와 지표침하의 역학적 연계

해석 결과, 공동의 상향 성장은 토사유실, 아칭효과에 의한 응력 재분배, 천단·측벽의 소성변형 국부화, 파괴영역의 연결 및 공동의 상향 확대 순으로 진행되었다. 하부 토사가 유실되면 공동의 무지지 폭이 증가하고 상재하중이 측방으로 재분배되면서 아칭효과가 발현된다. 이후 점착력과 마찰저항이 감소하면 천단부의 인장강도와 전단강도가 저하되고, 소성영역이 공동 경계에서 상부 토피로 확대된다. 이 소성영역이 기존 공동과 연결되고 요소 제거조건을 만족하면 공동이 상향으로 확대된다. 따라서 공동 확대 방향은 사전에 지정된 것이 아니라 토사유실 이후의 응력 재분배와 주변 지반의 강도 저하에 의해 결정되었다.

점진 침하형과 급격한 붕괴형 거동은 서로 독립된 현상이라기보다 공동 성장 과정에서 파괴조건에 도달하는 과정의 차이로 해석된다. 상대적으로 연성적인 조건에서는 소성변형이 넓게 분산되어 지표침하가 점진적으로 누적되고 파괴에 의한 추가 공동 확대는 제한되었다. 반면 천단부의 국부 파괴영역이 상부로 연결되면 짧은 기간에 공동이 확대되고 큰 지표침하가 발생하였다. 이러한 경향은 지반 강도에 따라 처짐형과 붕괴형 거동이 구분된다는 Al-Halbouni et al. (2018)의 결과와 정성적으로 일치한다.

4.2 매개변수 분석에 따른 영향인자 평가

내부마찰각과 점착력은 아칭효과를 유지하고 천단·측벽의 전단변형을 억제하는 주요 강도인자로 나타났다. 공동반경은 공동의 무지지 폭을 증가시키고 응력집중 범위를 확대하는 주요 기하인자였다. 토피고는 상재하중과 아칭을 통한 하중전달 경로를 동시에 변화시키므로 그 영향이 단조롭게 나타나지 않았다. 따라서 공동의 성장 가능성은 개별 인자의 임계값보다 전단강도, 공동반경 및 토피고의 조합으로 결정되는 공동 안정성을 기준으로 평가하는 것이 합리적이다.

공동의 위험도를 파괴요소가 처음 발생한 시점만으로 판단하면 그 이전의 변형과정을 간과할 수 있다. 일부 조건에서는 요소가 제거되기 전에 소성변형과 지표침하가 크게 증가하였으나, 다른 조건에서는 지표침하가 작은 상태에서도 국부 파괴와 공동 확대가 발생하였다. 따라서 공동 성장의 모니터링과 해석에서는 지표침하량과 증가율, 공동 천단 상부의 소성·파괴영역 연결성 및 공동 확대량을 함께 평가해야 한다. 특히 침하 증가율과 파괴영역의 연결성은 절대 침하량만으로 식별하기 어려운 급격한 불안정 전이의 가능성을 판단하는 보조지표가 된다.

4.3 열화 매개변수의 해석과 적용범위

열화규모계수 k는 기준기간 말의 잔류 물성비를 결정하고, 시간형상계수 n은 물성 저하가 시간축에서 집중되는 시기를 결정한다. n > 1이면 초기 열화율이 작고 후기로 갈수록 증가하며, n = 1이면 전 기간에 걸쳐 일정한 지수함수 형태로 물성이 저하된다. 탄성계수, 점착력 및 내부마찰각에는 서로 다른 민감도계수와 하한 물성비를 적용하였으므로, 공통 물성저감함수 𝜂를 개별 물성의 저감률로 직접 해석할 수 없다. 현장 적용 시에는 장기 물성시험이나 계측자료의 역해석을 통해 각 물성의 열화곡선을 보정해야 한다.

열화인자의 평균효과가 강도와 공동의 기하조건보다 작게 나타난 것은 열화가 공동 성장을 직접 유발하기보다 공동 주변 지반의 안정성을 시간에 따라 저하시키기 때문이다. 초기부터 파괴조건에 근접한 공동에서는 작은 물성 저하도 아칭효과의 약화와 파괴영역의 연결을 촉진하지만, 아칭효과와 전단저항이 충분히 유지되는 조건에서는 동일한 열화가 제한된 소성변형과 침하로 나타났다. 따라서 열화는 최종 붕괴 여부를 직접 결정하는 인자라기보다 불안정 전이 시점을 조절하는 인자로 해석하는 것이 타당하다.

공간 기준거리 Lf는 본 연구에서 1.8 m로 고정하였으므로, 이 값의 변화가 열화영역의 발달과 변위가 지속적으로 증가하기 시작하는 시점에 미치는 영향은 별도로 분석하지 않았다. 현장 적용을 위해서는 지표침하 이력, 공동 형상 변화 또는 지반 물성의 장기 계측자료를 이용하여 Lf를 보정하고, 보정값의 불확실성이 해석 결과에 미치는 영향을 추가로 검토할 필요가 있다.

4.4 수치적 신뢰성 및 결과 해석의 범위

본 연구 결과는 공동 위험도를 현재 공동 규모나 최종 침하량만으로 판단하기보다 성장단계별 지표를 이용하여 평가해야 함을 시사한다. 토사유실이 확인된 경우에는 공동 주변 열화영역의 범위, 천단·측벽의 소성변형 집중, 파괴영역의 상향 연결 및 지표침하 증가율을 함께 추적할 필요가 있다. 특히 지반 강도가 낮거나 초기 공동반경이 큰 조건에서는 본격적인 토사유실 이전에도 초기 공동 형성에 따른 응력 재분배만으로 불안정 전이가 발생할 수 있으므로 선제적인 보강과 계측이 필요하다.

본 연구에서는 지하수 흐름과 입자이동을 직접 고려하지 않은 2차원 평면변형 해석을 수행하였으므로, 산정된 결과를 이용하여 개별 현장의 공동 형상이나 붕괴시점을 직접 예측할 수는 없다. 또한 요소망 크기와 시간증분의 변화가 해석 결과에 미치는 영향을 독립적으로 검토하고, 현장자료를 이용하여 열화 매개변수를 보정할 필요가 있다. 그럼에도 토사유실에 따른 공동 경계의 이동과 주변 지반의 파괴에 의한 공동 확대를 구분함으로써, 아칭이 유지되는 거동, 침하가 점진적으로 누적되는 거동 및 공동이 급격하게 상향으로 확대되는 거동이 지반 강도와 공동의 기하조건에 따라 달라지는 과정을 비교할 수 있었다.

5. 결 론

본 연구에서는 토사유실과 시간 의존적 지반열화가 함께 작용하는 조건에서 공동의 확대, 주변 지반의 변형 및 지표침하 사이의 역학적 연계성을 분석하였다. 주요 결론은 다음과 같다.

1. 공동은 토사유실에 따른 하부 경계의 이동, 아칭효과에 의한 상재하중 재분배, 천단·측벽의 소성변형 국부화, 파괴영역의 연결 및 상향 확대 순으로 발달하였다. 소성변형이 넓게 분산된 조건에서는 점진 침하형 거동이 우세하였으나, 천단부 파괴영역이 기존 공동과 연결된 조건에서는 공동이 급격히 확대되고 큰 지표침하가 발생하였다.

2. 초기 공동 형성 후의 안정성이 공동 성장양상을 지배하였다. C08에서는 토사유실이 시작되기 전에 주변 지반요소 10개가 파괴되고 약 1,310.8 mm의 지표침하가 발생하였다. 이는 낮은 점착력과 내부마찰각, 큰 공동반경의 조합만으로도 조기 불안정이 발생할 수 있음을 의미한다. 반면 C09와 C10에서는 각각 336개의 토사유실 대상 요소가 제거된 후에도 지반 파괴에 의한 추가 공동 확대가 발생하지 않았으며, 10년 후 침하는 각각 12.1 mm와 6.9 mm에 그쳤다.

3. 영향인자 선별 결과, 내부마찰각의 증가는 변위가 지속적으로 증가하기 시작한 평균 시점을 약 3.5년 지연시키고 지표침하를 약 380 mm 감소시켰으며, 점착력의 증가는 이 시점을 약 2.2년 지연시키고 침하를 약 290 mm 감소시켰다. 공동반경의 증가는 이 시점을 약 3.5년 앞당기고 침하를 약 240 mm 증가시켰다. 따라서 본 해석범위에서는 전단강도와 공동반경이 주요 지배인자로 나타났으며, 공동반경이 증가할수록 무지지 폭이 확대되어 아칭효과가 약화되었다.

4. 시간 의존적 지반열화는 공동 붕괴를 독립적으로 유발하기보다 아칭효과와 전단저항을 점진적으로 저하시키는 요인으로 작용하였다. 초기부터 파괴조건에 근접한 강도·기하조건에서는 작은 물성 저하도 불안정 전이를 앞당겼으나, 아칭효과와 전단저항이 충분히 유지되는 조건에서는 열화와 토사유실이 누적되어도 아칭효과가 유지되어 침하가 제한되었다.

5. 공동 위험도는 단일 침하량이나 요소 제거 여부가 아니라 성장단계별 복수 지표를 이용하여 평가해야 한다. 지표침하량과 증가율은 공동 상부의 변형이 지표까지 전달되는 정도를 나타내고, 공동 천단 상부의 소성·파괴영역 연결성은 잠재 파괴경로를 나타낸다. 지반 파괴에 의한 공동 확대량은 공동의 실제 성장 정도를 나타낸다. 이들 지표를 함께 적용하면 점진 침하형 거동과 급격한 상향 확대형 거동을 보다 합리적으로 구분할 수 있다.