1. 서 론

현재까지 도로, 철도 및 중요 구조물 하부를 통과하는 지하철, 지하차도, 수로, 공동구 등과 같은 지중 구조물의 시공은 주로 개착공법(open cut 또는 cut and cover method)이 이용되고 있다. 이 공법은 시공상 가장 안전한 공법이지만 공사기간 중 교통로를 차단해야 하는 것이 최대 단점이다. 따라서 이러한 지하 횡단구조물의 건설 시 발생하는 문제점 및 신설 구조물의 구축에 따른 교통 정체 및 사고를 사전에 예방하여 보다 경제적이고 안전하게 지하구조물을 건설할 수 있는 공법 개발이 필요하게 되었다. 이러한 조건에 부합되는 공법으로 세계 여러 선진국의 도심지나 신개발 지역의 도로, 철도, 지하철 등과 같은 운행선 직하부 지하구조물의 신설은 도심지의 교통 혼잡과 민원 문제와 같은 여러 가지 난관을 해결하기 위해 비개착식 굴착공법(trenchless method)으로 시공하고 있다.

이러한 비개착식 굴착공법의 경우 암 구간은 발파(NATM) 및 기계식 굴착방법(TBM)이 있으나, 토사 구간에서는 막장 자립이 불가능하기 때문에 보다 복잡한 작업 방법이 요구되어 근래에 와서는 특수장비와 강재 가설재를 이용하여 막장 자립이 곤란한 토사 지반의 경우에도 터널 굴착을 할 수 있는 방안들이 개발되어 많은 시공실적을 쌓고 있다.

특히, 도심지와 같은 저토피 연약지반에서는 지반침하 및 기존의 복잡한 지하매설물, 교통 혼잡, 민원 발생 우려로 인해 다양한 특수 터널 공법이 적용되고 있는 실정이다.

현재 국내에서 시공되고 있는 비개착식 굴착공법은 TRcM 공법, NTR 공법, Pipe Roof 공법, DSM 공법 등이 주로 사용되고 있으며 강관을 지반에 관입시키기 위해 철근콘크리트 재료의 반력벽체를 이용하여 잭킹을 하게 된다(Fig. 1).

Fig. 1.

Reaction wall and jacking system

이러한 공법의 선정은 현장 조건, 상부 구조물과 교통상황의 검토, 지반의 특성 및 시공성, 경제성, 안정성 등을 비교·검토하여 가장 적절하고 이상적인 공법을 선정하여 시공해야 한다. 이때, 반력벽체는 잭킹 시 발생하는 강관 추진력을 지반으로 전달하는 핵심 구조물이다. 잭킹 과정에서 발생하는 반력은 반력벽체를 통해 배면지반으로 전달되며, 이로 인해 배면지반에는 수동 상태의 저항이 나타난다. 즉, 반력벽체 배면지반에는 잭킹 하중에 저항하는 수동토압이 발생하게 되며, 이는 반력벽체의 안정성과 직접적으로 관련되는 중요한 설계 인자이다. 만약 이 수동토압을 과대평가할 경우, 반력벽체의 안정성이 확보되지 않을 수 있다. 반대로 과소평가할 경우, 불필요한 구조물 보강으로 인해 경제성이 저하될 수 있다. 따라서, 비개착 공법에서 반력벽체 배면지반에 작용하는 수동토압을 합리적으로 산정하는 것은 안정성과 경제성 측면에서 매우 중요한 문제라고 할 수 있다.

기존 연구에서는 비개착식 공법에서 발생하는 추진력(Yen and Shou, 2015), 관-지반 마찰저항(Wen et al., 2024), 추진관 주변 지반의 변형 및 추진 방향의 토압분포(Taheri et al., 2025)에 대한 검토가 주로 수행되어 왔다. 또한 일부 연구에서는 추진하중에 따른 반력벽체 또는 후방벽의 변형 특성(Sun et al., 2015; Bai et al., 2023)을 분석하였다. 그러나 이러한 연구들은 대부분 추진력 산정이나 반력벽체 자체의 구조적 거동에 초점을 두고 있으며, 잭킹 하중이 반력벽체를 통해 배면지반으로 전달될 때 발현되는 수동토압에 대한 검토는 상대적으로 제한적이다.

이에 본 연구에서는 Atkinson (2016)의 문헌을 토대로 도식적으로 해석한 상계법(upper bound, UB)과 하계법(lower bound, LB)을 소개하여 위에서 언급한 수동토압을 이론적으로 유도하고, 이와 더불어 유한요소해석을 통해 검증하고자 한다.

본 연구와 관련 한계해석법(limit analysis method)인 UB와 LB는 Table 1과 같은 특징을 가지고 있다.

Table 1에서 보는 바와 같이 유한요소법인 FEM의 경우, 평형(equilibrium), 변위에 대한 적합성(compatibility), 재료의 구성(constitutive behavior), 경계조건(boundary conditions)과 같은 모든 조건을 만족한다. 이에 비해 파괴 메커니즘에 근거하는 UB의 경우, 평형조건과 경계조건에 있어 힘의 조건을 만족하지 못해 불안전한 해(unsafe solution)에 가깝다고 볼 수 있으며, 불연속면을 경계로 한 점에서의 응력 평형에 근거하는 LB는 변위에 대한 적합성과 경계조건에 있어 변위에 대한 조건을 만족하지 못해 안전한 해(safe solution)에 가깝다. 공통점으로는 재료의 구성에 있어 이상화된 소성조건(ideal plasticity: 응력은 일정하고 변형률은 계속해서 증가)과 Fig. 2에서 보는 바와 같이 연관성 흐름법칙(associated flow rule 또는 normality rule: 전단응력(𝜏)과 전단 변형률(δεt)은 파괴 포락선에 대해 접선방향이며 수직전응력(𝜎) 또는 수직유효응력(σ)과 수직 변형률(δεn)은 파괴 포락선에 대해 법선방향인 경우)이 적용된다는 점이다.

Fig. 2.

Applicability of associated flow rule (Lee, 2011)

위에서 언급한 바와 같이 UB 또는 LB 각각의 해 자체는 불완전하다는 것을 알 수 있다. 따라서 정확한 해(exact solution)는 Fig. 3에서 보는 바와 같이 UB와 LB가 서로 일치하는 경우라고 할 수 있다. 그러나 이러한 완전한 해를 현실적으로 구하기는 매우 어려우며 일반적으로 완전한 해는 UB와 LB 사이에 존재한다고 볼 수 있다. 따라서 본 연구에서는 UB와 LB를 통해 수동토압의 이론적 범위를 제시하고자 한다. 또한, 수치해석을 수행하여 이론적 범위와 비교함으로써 보다 합리적인 수동토압 평가 및 해석 방법을 제시하고자 한다.

Fig. 3.

Existence of an exact solution between Lower bound and Upper Bound (Lee, 2011)

2. Lower Bound에 의한 수동토압

2.1 개요

LB에 의한 해를 구하기 위해서는 먼저 응력 불연속(stress discontinuity)의 개념을 이해하여야 한다. 두 개의 응력상태를 높은 응력에 해당하는 B와 낮은 응력에 해당하는 A를 Fig. 4에서 보는 바와 같이 불연속면(discontinuity)을 따라서 구분할 수 있다. 이 때 불연속면을 가로질러 평형조건을 만족한다. 본 절의 응력 불연속(stress discontinuity) 개념, Mohr의 원 구성 및 응력 변화에 대한 설명은 Lee (2011)의 하계해석 절차를 따라 정리하였다.

Fig. 4.

Division of high and low stress regions across a discontinuity plane (Lee, 2011)

앞선 평형에 따라 아래와 같은 식 (1)이 성립한다.

낮은 응력 영역의 A 영역과 높은 응력 영역의 B 영역을 각각 Mohr의 원으로 표시하면 Fig. 5와 같다. A 영역과 B 영역은 서로 다른 주응력 크기를 가지므로 각 영역에 대응하는 Mohr의 원의 중심 위치도 다르게 나타난다. 그러나 식 (1)의 평형 조건에 따라 불연속면에 작용하는 응력은 동일해야 한다.

Fig. 5.

Classification of low and high stress regions across a discontinuity plane (Lee, 2011)

Fig. 5에서 표시한 두 개의 Mohr의 원을 함께 나타내면 Fig. 6(a)와 같다. 두 영역의 주응력 크기와 Mohr의 원의 중심이 서로 다르므로 최대 주응력이 작용하는 방향도 영역에 따라 달라지게 된다. 이때의 주응력 방향의 변화는 Fig. 6(b)와 같다.

Fig. 6.

Mohr’s circles showing the two stress regions together (Lee, 2011)

Fig. 6(a)의 두 개의 Mohr의 원에 대해 각도로 표시하면 다음의 Fig. 7(a)와 같이 나타낼 수 있다. Fig. 7(a)에서 각 ∠BAC는 각 2θA가 되며 각 ∠TPBC는 각 180°-θB가 된다. 따라서 각 ∠TPC는 각 2θB가 됨을 알 수 있다. 다음으로 Fig. 7(b)에서 보는 바와 같이 선 BC'에 평행한 선 AC를 그을 수 있다. 따라서 각 ∠TBC는 2θB가 되며 이때 각 ∠CBC'은 2θB-2θA가 된다.

Fig. 7.

Mohr circles showing the two stress regions together (Lee, 2011)

이러한 변화된 각도 (2θB-2θA)의 의미는 높은 응력 영역인 B에서 낮은 응력 영역인 A에 각각 해당되는 면에 작용하는 최대 주응력인 σ1의 작용하는 방향이 변화됨을 의미한다. 이를 그림으로 나타내면 Fig. 8(a)와 같다. 여기서, 불연속면을 통과함에 따라 발생하는 최대 주응력 방향의 변화는 𝛿𝜃이다. 즉, 2δθ=2θB-2θA⟶δθ=θB-θA임을 의미한다. 따라서, 이를 Mohr의 원으로 나타내면 Fig. 8(b)와 같다. 이 때 선 CM의 길이는 식 (2)를 만족한다.

Fig. 8.

Rotation of the major principal stress direction and the corresponding Mohr’s circles (Lee, 2011)

2.2 Lower Bound를 적용한 수동토압

본 절에서는 비배수 점토지반의 철도 하부를 통과하는 하수관의 추진굴착 시 반력벽체 배면지반에 작용하는 수동토압을 대상으로 LB를 적용하고자 한다. 해석 대상은 잭킹 하중이 작용하는 폭 3 m, 깊이 3.33 m의 철근콘크리트 반력벽체이며, 배면지반은 비배수 전단강도(Cu = 50 kN/m²)와 단위중량(𝛾 = 20 kN/m³)을 갖는 점토지반으로 가정하였다. LB 해석은 벽체-지반 경계면의 응력조건을 설정한 후, Tresca 항복조건을 만족하는 Mohr의 원과 응력 불연속면을 구성하고, 주응력 방향의 변화를 고려하여 최종 수동토압을 산정하는 절차로 수행하였다. 이때 LB 계산에서는 반력벽체 배면지반을 파괴시키는 데 필요한 수평응력을 우선적으로 구하기 위하여 토사의 자중은 고려하지 않는 것으로 하였다(Fig. 9).

Fig. 9.

Analysis conditions for passive earth pressure behind the reaction wall

LB를 이용하여 비배수 점토지반에서 반력벽체 배면지반의 수동토압을 구하기 위해서는 Fig. 10(a)와 같이, 높은 응력 영역인 B와 낮은 응력 영역인 A를 벽체면을 기준으로 설정한다. 벽체면에서는 경계면 전단응력이 작용하므로, B영역의 응력상태는 벽체-지반 경계면의 응력조건과 하계 응력장의 기하조건을 함께 만족하도록 구성하였다.

Fig. 10.

Stress state determination in Zone B using Mohr’s circle

Fig. 10(b)에서 보는 바와 같이, 비배수 점토의 Tresca 항복조건에서는 파괴 시 Mohr의 원 반지름이 비배수 전단강도 Cu와 같으므로, Mohr의 원 상의 전단응력은 식 (3)과 같이 표현된다.

여기서, 𝜃는 실제 공간에서 해당 면의 법선 방향과 최대 주응력 방향 사이의 각도이다. 본 해석에서 Atkinson의 도식적 하계 응력장 구성을 바탕으로, 벽체-지반 경계면에 대응하는 응력점이 Mohr의 원 상에서 2𝜃=60∘의 위치에 놓이는 응력상태로 적용하였다. 따라서 벽체-지반 면에 작용하는 전단응력은 식 (4)와 같이 산정된다.

이에 해당하는 응력 상태를 이용하여 B영역의 Mohr의 원을 작도할 수 있다. 한편 A영역은 낮은 응력 상태에 놓이며, A영역과 B영역에 대응하는 최대 주응력 방향은 서로 다르게 나타난다. 벽체면을 기준으로 B영역의 최대 주응력 방향이 A영역으로 연결되기 위해서는 30°만큼 회전해야 한다.

이와 같은 응력 방향의 변화를 고려하기 위하여 Fig. 11과 같이 30° (𝛥𝜃)의 응력 불연속면(stress discontinuity)을 포함하는 single discontinuity fan을 도입한다. 불연속면을 따라 최대 주응력 방향이 변화하므로 fan 내부에서는 응력의 증가가 발생하며, 응력 변화량인 ∆S는 식 (5)와 같으며, SA는 식 (6), SB는 식 (7)과 같다. 여기서, ∆S는 fan을 통과하는 전체적인 최대 주응력 방향의 변화량을 나타낸다.

Fig. 11.

30˚ fan and rotation of the major principal stress

위와 같은 결과를 Mohr의 원으로 나타내면 Fig. 12와 같다.

Fig. 12.

Determination of the final horizontal stress using Mohr’s circle of stress

Fig. 12로부터 최종 수평응력은 식 (8)과 같이 정리되며, 계산 결과 127.50 kN/m²이다.

이와 같이 구한 σhT는 단위 면적 당 수평응력에 해당하므로, 이를 반력벽체의 면적에 대하여 환산함으로써 총 수동토압을 구할 수 있다. 따라서, LB를 이용한 반력벽체 배면지반의 수동토압은 1,275.00 kN이다.

3. Upper Bound에 의한 수동토압

3.1 개요

UB에 의한 해를 구하기 위해서는 먼저 파괴 메커니즘과 가상의 일의 개념을 이해하여야 한다. UB는 파괴 시 발생 가능한 운동학적 메커니즘을 가정하고, 이에 대응하는 변위도를 구성한 후, 외력에 의해 수행되는 일과 내부에서 소산되는 일을 같게 두어 극한값을 산정하는 방법이다. 따라서 LB가 응력평형에 근거한 해석이라면, UB는 파괴 메커니즘과 변위 양상에 근거한 해석이라고 할 수 있다. 또한 UB에서는 단순한 메커니즘의 설정이 가능하며, 경우에 따라서는 LB와 관련하여 UB 메커니즘을 설정하는 것이 유용할 수 있다. 본 절의 외력에 의한 일 및 내부응력에 의한 일의 설명은 Atkinson (2016)의 상계해석 절차를 따라 정리하였다.

UB를 적용하기 위해서는 적합한 메커니즘을 설정을 통해 운동의 증분 동안 외력에 의해 수행되는 일과 내부응력에 의해 소산되는 일을 계산할 필요가 있다. 외력(외부의 힘)에 의해 수행되는 일은 힘과 그 작용 방향에 대한 변위의 증분으로 나타낼 수 있으며, 이러한 변위의 증분은 항상 변위도(displacement diagram)로부터 구할 수 있다. Atkinson (2016)에 따르면, 외력에 의한 일의 일반적인 형식은 식 (9)와 같다.

여기서, F는 집중하중, pA는 분포하중에 의한 힘, γV는 자중에 의한 힘을 의미하며, 𝛿𝜔는 각 힘의 작용 방향에 대응하는 변위의 증분을 나타낸다. 즉, UB에서의 외부 일은 작용하중의 종류에 따라 달라질 수 있으나, 기본적으로는 힘과 그 방향에 대한 변위의 곱의 형태로 표현된다고 할 수 있다. 외력에 의한 일의 개념은 Fig. 13과 같다.

Fig. 13.

External work done by applied force (Atkinson, 2016)

한편, 내부응력에 의한 일의 발생은 적합한 메커니즘을 구성하는 미끄러짐 면 또는 파괴면에서 재료의 소성변위로 인한 일의 소산을 의미한다. Atkinson (2016)에 따르면, 비배수 하중 조건의 경우, UB에서는 이러한 내부 일의 증분을 식 (10)으로 나타낼 수 있다.

여기서, 𝜏는 파괴면에 작용하는 전단응력, L은 미끄러짐 면의 길이, 𝛿𝜔는 해당 면을 따라 발생하는 상대변위의 증분을 의미한다. UB에서 내부의 일은 파괴면에서의 전단저항과 상대변위에 의해 결정되며, 적합한 메커니즘을 구성하는 파괴면에 대하여 이를 평가하여야 한다.

내부응력에 의한 일의 개념은 Fig. 14와 같다.

Fig. 14.

Work done by internal stresses (Atkinson, 2016)

3.2 Upper Bound를 적용한 수동토압

앞선 LB와 동일한 조건에서 UB를 이용하여 비배수 점토지반에서 반력벽체 배면의 수동토압을 구하기 위해서는 먼저 적합한 파괴 메커니즘을 설정하여야 한다. UB 해석에서는 먼저 적합한 파괴 메커니즘과 이에 대응하는 변위도(displacement diagram)를 설정하고, 파괴면에서의 내부 소산일과 외력에 의한 일을 산정한 후 가상일의 원리를 적용한다. 본 연구에서는 2.2절에서 구한 LB의 응력장과 최대 주응력 방향을 바탕으로 두 개의 블록과 하나의 파괴 메커니즘을 설정하였으며, 이에 대응하는 변위도를 이용하여 최종 수동토압을 산정하였다.

Fig. 15(a)는 반력벽체 배면지반에서 발생 가능한 파괴 메커니즘의 제원(dimension)을 나타낸 것이다. 파괴 메커니즘은 블록 A와 블록 B로 구분되며, 각 블록은 파괴면을 따라 상대적으로 이동한다.

Fig. 15.

Two blocks and one rupture mechanism and displacement diagram

Fig. 15(a)에 해당되는 변위도를 나타내면 Fig. 15(b)와 같다. 여기서, O점은 움직임이 없는 부동의 영역에 해당되는 점을 의미한다. Fig. 15(b)의 변위도에서 볼 수 있듯이 O점을 기준으로 블록 A와 블록 B에 해당되는 변위량을 나타낼 수 있으며, 이 때의 변위량은 ∆S로 정의한다.

가상의 일은 외부에서 작용하는 힘이 파괴면을 따라 소산된다는 가정하에 성립한다. 이를 식으로 표현하면 식 (11)과 같다.

내부의 일(Wint)은 Cu가 작용하는 4개의 면인 ad, dc, ac, cb를 따라 소산된다(Fig. 15(a)). 각 면에 대한 내부의 일은 해당 길이와 변위도에서 얻은 상대변위를 이용하여 계산할 수 있다. Fig. 15를 이용하여 내부의 일을 계산하면 Table 2와 같다.

외부의 일(Wext)은 반력벽체에 작용하는 수평응력에 의해 발생한다. Fig. 15(b)의 변위도에서 벽체 수평응력 방향의 변위성분을 고려하면 식 (12)와 같다.

따라서, 내부의 일과 외부의 일이 같다고 놓으면 수평응력은 식 (13), 식 (14)와 같이 정리된다.

한편, 위의 계산은 토체 자중을 고려하지 않은 경우에 해당된다. 보다 실제적인 해를 얻기 위하여 토체 자중에 의한 일을 추가로 고려하고자 한다. 토체 자중에 의한 일은 블록 A와 블록 B의 면적 및 각 블록의 수직 변위를 이용하여 계산할 수 있다.

우선, Fig. 15(a)를 이용해 각 블록의 면적을 계산하면 블록 A는 6.57 m², 블록 B는 2.78 m²과 같다.

Fig. 15(b)를 통한 각 블록의 수직 변위는 식 (15), 식 (16)과 같다.

따라서, 토체 자중에 의한 일은 식 (17)과 같으며, 토체 자중 20 kN/m³을 대입하면 107.30⋅ΔS kN·m로 계산된다.

이때, 토체 자중에 의한 일을 Fig. 15(b)를 통해 환산하면 식 (18)과 같다.

여기서, PH(soil)'은 토체 자중을 고려한 단위 길이당 수동토압이며, PH(soil)은 토체 자중을 고려한 수동토압을 의미한다.

따라서, 식 (14)에서의 수평응력과 식 (18)에서의 단위 길이당 수동토압에 각각 면적과 길이를 곱하여 계산하면 1,617.00 kN으로 산정된다. 이는 토체 자중을 고려하고 UB를 이용한 반력벽체 배면 지반의 수동토압이다.

4. 수치해석

4.1 개요

본 절에서는 LB와 UB를 이용하여 산정한 반력벽체 배면지반의 수동토압을 검토하기 위하여 유한요소해석을 수행하였다. 유한요소해석은 PLAXIS 2D를 이용하였으며, 반력벽체에 수평방향 강제변위를 단계적으로 부여하여 반력벽체 배면지반에서 발생하는 수동토압의 발현 양상을 분석하고자 하였다.

앞선 이론해석에서는 비배수 점토지반에서 폭 3.0 m, 깊이 3.33 m의 반력벽체를 대상으로 하계법과 상계법을 적용하였다. LB에서는 벽체-지반 경계면 전단조건에 의해 결정되는 최대 주응력 방향과 30° fan을 이용하여 수평응력을 산정하였으며, UB에서는 2개의 블록과 1개의 파괴 메커니즘 및 변위도를 이용하여 수동토압을 산정하였다. 그 결과, LB에 의한 수동토압은 1,275.00 kN, UB에 의한 수동토압은 1,617.00 kN으로 산정되었다.

위에서 언급한 바와 같이 LB는 응력평형에 근거한 안전측의 해이며, UB는 파괴 메커니즘과 가상의 일에 근거한 불안전측의 해라고 할 수 있다. 따라서 일반적으로 실제 해는 하계해와 상계해 사이에 존재한다고 볼 수 있다. 이에 본 장에서는 수치해석을 통해 산정한 수동토압이 앞서 제시한 이론적 범위 내에 위치하는지 검토하고자 한다.

또한 수치해석에서 나타난 최대 주응력 방향의 변화와 전단변형률 분포를 확인하여, 반력벽체 배면지반의 파괴 양상이 앞선 이론해석에서 가정한 응력장과 파괴 메커니즘과 유사한지 비교하고자 한다.

4.2 해석 조건 및 수동토압 산정방법

본 절에서는 수치해석에 적용한 해석 조건과 수동토압 산정 절차를 기술한다. 해석영역은 x = 0–40 m, y = -20–0 m의 범위로 구성하였다. 반력벽체는 x = 10 m, y = -3.33–0 m 구간에 배치하였다. 반력벽체의 좌측 영역은 잭킹 장비가 위치하는 작업공간을 고려하여 굴착부로 모사하였고, 우측 영역은 반력벽체의 수평변위에 의해 수동저항이 발현되는 배면지반으로 구성하였다(Fig. 16).

Fig. 16.

Finite element modeling overview

수치해석은 PLAXIS 2D를 이용하여 평면변형률 조건에서 수행하였다. 지반은 15절점 삼각형 요소로 설정하였으며, 반력벽체 주변부에서는 응력 및 변형이 집중될 것으로 예상되므로 해석영역의 요소망을 상대적으로 조밀하게 구성하였다. 반력벽체는 plate 요소를 이용하였으며, 벽체와 지반 사이의 접촉 거동은 interface 요소를 통해 고려하였다.

반력벽체는 일반적인 철근콘크리트 벽체를 대표하는 등가 탄성 plate 요소로 치환하였다. 본 연구의 이론 해석에서는 비배수 점토지반을 Tresca 항복조건을 따르는 이상소성 재료로 가정하였다. 수치해석에서는 Mohr-Coulomb 모델의 Undrained C 조건에서 비배수 파라미터들을 적용하여, Tresca 조건에 대응하는 전응력 기준의 비배수 거동을 모사하였다(Bentley Systems, 2025). 본 해석에서 적용한 주요 물성치는 Tables 3 and 4에 제시하였다.

반력벽체 배면지반의 수동저항은 벽체가 배면 방향으로 변위가 나타날 때 발생한다. 따라서 본 해석에서는 실제 잭킹하중을 직접 재하하는 방식이 아니라, 반력벽체에 수평방향의 강제 변위를 단계적으로 부여하는 변위제어 방식을 적용하였다. 이는 본 연구의 목적이 특정 잭킹하중 작용 시 반력벽체의 구조적 거동을 확인하는 것이 아니라, 반력벽체 배면지반의 수동토압과 그 발현 과정을 확인하는데 있기 때문이다.

수평변위는 0.01 m 간격으로 증가시켰으며, 최종 변위는 0.40 m로 설정하였다. 따라서 해석 단계는 Phase 2부터 Phase 41까지 총 40단계로 구성하였으며, 각 단계에서의 수평 변위는 ux = 0.01, 0.02, 0.03, ⋯, 0.40 m와 같다.

이와 같이 동일한 변위 증분을 적용함으로써 수동토압의 증가 및 수렴 양상을 단계적으로 확인할 수 있도록 하였다.

PLAXIS 2D 해석 결과로부터 반력벽체 배면지반의 수동토압을 산정하기 위하여 Cartesian total stress의 수평응력 성분인 σxx를 이용하였다. 본 해석은 비배수 조건으로 수행되었기에 전응력 기준으로 해석하였다. 수평응력은 초기 벽체로부터 배면방향으로 이격된 위치에서 추출하였다. 벽체 기준 배면 이격거리는 반력벽체 배면지반의 범위를 검토하기 위하여 설정하였다.

반력벽체 배면지반에 수동토압이 발현되는 경우 배면지반의 변형 및 파괴영역은 벽체 깊이에 영향을 받으며, 수동파괴에 따른 영향범위는 일반적으로 벽체 깊이를 기준으로 최대 약 2배 범위까지 고려할 수 있다. 한편, Sun et al. (2015)은 반력벽체 주변 지반에서 변형이 집중되어 발생하는 특성을 확인하였다. 본 연구에서 수행된 전단파괴 형상을 추가적으로 검토한 결과, 주요 전단변형은 반력벽체 배면으로 벽체 깊이와 유사한 거리 범위 내에서 집중적으로 발생하는 것으로 나타났다. 이에 따라 본 연구에서는 반력벽체 깊이인 3.33 m를 배면지반의 주요 변형 영향범위 설정 기준으로 고려하였으며, 벽체 깊이에 근접한 배면방향 3.00 m까지를 검토범위로 설정하였다.

이에 따라, 배면 이격거리는 반력벽체에 인접한 위치에서의 수평응력을 확인하기 위한 0.01 m 지점과, 벽체로부터의 이격거리에 따른 수평응력의 변화를 단계적으로 확인하기 위한 0.50 m 간격의 0.50, 1.00, 1.50, 2.00, 2.50, 3.00 m 지점으로 설정하였다. 이를 통해 반력벽체 배면지반 내부에서 발생하는 수평응력의 분포 및 거리 증가에 따른 변화 양상을 검토하였다.

PLAXIS 2D에서는 수평응력이 음수로 출력되므로, 수평응력의 크기는 식 (19)와 같이 정의하였다.

여기서, p(y)는 깊이 h에서의 수평응력의 크기를 의미한다. 단위폭당 수동토압은 배면 이격거리에서 추출한 σxx의 분포를 깊이 방향으로 적분하여 산정하였으며, 이를 식 (20)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, P'는 단위폭당 수동토압, H는 반력벽체의 깊이를 의미한다. 실제 반력벽체 폭인 B = 3.0 m를 고려한 전체 수동토압은 식 (21)과 같이 계산하였다.

응력분포의 적분은 각 깊이별 σxx 결과를 이용하여 사다리꼴 적분법으로 수행하였다. 동일 깊이에서 인접 요소의 결과기 중복되어 나타나는 경우는 해당 깊이의 응력 값을 평균하여 적용하였다.

4.3 수치해석 결과

배면 이격거리에 따른 단계별 수평변위에서의 σxx적분 결과, 모든 경우에서 수동토압은 초기 변위 단계에서 급격히 증가한 후 일정한 값으로 수렴하는 경향을 보였다. Fig. 17은 배면 이격거리 0.50 m인 경우, 반력벽체에 작용한 수평변위에 따른 배면지반의 수동토압의 변화를 나타낸 것이다. 수평변위 0.01 m에서 수동토압은 848.25 kN으로 산정되었으며, 이후 변위가 증가함에 따라 수동토압도 증가하였다.

수평변위가 0.10 m에 도달한 이후에는 수동토압이 약 1,532.00 kN 수준으로 수렴하는 것으로 나타났다. 최대 수동토압은 Phase 13, 즉 수평변위 0.12 m에서 발생하였으며, 이때의 수동토압은 1,533.19 kN으로 나타났다. 최종 변위인 0.40 m에서의 수동토압은 1,532.83 kN으로 나타났으며, 이는 수동토압 수렴 값인 1,532.00 kN과 최대 수동토압인 1,533.19 kN과 거의 동일한 수준이다(Fig. 17).

따라서 본 해석에서는 수평변위 약 0.10 m 이후부터 반력벽체 배면지반의 수동토압이 극한상태에 도달한 것으로 판단된다. 이는 배면지반 내 응력 재분포와 변형집중대가 충분히 발달되고, 그 이후에는 추가적인 변위가 발생하더라도 수동토압의 증가는 거의 없음을 의미한다.

Fig. 17.

Relationship between horizontal displacement and passive earth pressure

배면 이격거리 0.50 m 뿐만 아닌, 설정한 모든 배면 이격거리에서의 수동토압 결과를 나타내면, Table 5와 Fig. 18과 같다. 앞서 기술한 바와 같이, 일정 수평변위에 도달한 이후부터 수동토압이 수렴하는 결과를 확인할 수 있다.

Fig. 18.

Relationship between horizontal displacement and passive earth pressure at various offsets

Fig. 19는 최대 주응력 방향을 검토한 결과이다. 이를 통해 반력벽체 배면지반에서는 벽체-지반 경계면 조건에 의해 최대 주응력 방향이 결정되고, 지반 내부로 갈수록 최대 주응력 방향이 변화하는 양상을 확인하였다.

Fig. 19.

Principal stress direction behind the reaction wall

수동 파괴 메커니즘을 확인하기 위하여 전단변형률 컨투어를 검토하였다. Fig. 20은 전단변형 분포를 나타낸 것이다. 보는 바와 같이 반력벽체 하단부 부근에서 전단변형률이 크게 집중되었으며, 이로부터 배면지반 내부 방향으로 경사진 전단변형 집중대가 발달되는 양상이 확인되었다.

Fig. 20.

Shear strain contour behind the reaction wall

5. 이론해와 수치해석 결과의 비교 및 고찰

본 절에서는 앞서 제시한 수치해석 결과를 LB와 UB의 결과와 비교하고, 수치해석에서 나타난 응력 및 변형 양상이 이론해석에서 가정한 거동과 유사한지 검토하고자 한다.

앞선 LB에서는 작용되는 응력 조건들을 Mohr의 원에 적용하여 B영역의 최대 주응력 방향을 결정하였다. 이때 B영역의 최대 주응력 방향이 A영역으로 연결되기 위해서는 30°만큼 회전하여야 하며, 이러한 응력 방향의 변화를 고려하기 위하여 30°의 single discontinuity fan을 도입하였다.

Fig. 19에서 보는 바와 같이, 수치해석 결과에서도 LB와 유사한 최대 주응력 방향과 그 방향의 변화가 나타남을 확인하였다. 즉, 수치해석에서 확인된 최대 주응력 방향의 변화는 LB에서 가정한 응력 불연속 및 fan을 통한 응력 전이 양상과 정성적으로 유사함을 알 수 있다.

또한, UB에서는 LB의 응력장과 최대 주응력 방향을 바탕으로 두 개의 블록과 한 개의 파괴 메커니즘을 설정하였다. 이 메커니즘은 블록 A와 블록 B로 구분되며, 각 블록이 파괴면을 따라 상대적으로 이동하는 것으로 가정한다.

Fig. 20에서 나타난 전단변형률 집중대는 반력벽체 인근 하단부에서 시작하여 배면지반 내부로 확장되는 형태를 보였다. 이는 UB에서 가정한 파괴면 및 블록 운동 양상과 대응된다. 따라서 수치해석을 통해 확인된 파괴 메커니즘은 이론적 메커니즘과 정성적으로 유사함을 알 수 있다.

LB에 의한 수동토압은 FLB = 1,275.00 kN, UB에 의한 수동토압은 FUB = 1,617.00 kN으로 산정되었다. 수치해석 결과는 배면 이격거리에 따라 다소 차이를 보였으며, 반력벽체 배면으로부터 0.50–2.50 m 범위의 거리에서 산정한 수동토압은 LB와 UB 결과 사이에 위치하였다. 이는 반력벽체 배면지반 내부에서 안정적으로 발현되는 단면의 수치해석 결과가 LB와 UB로 제시되는 이론적 범위와 대체로 부합함을 의미한다.

한편, 반력벽체에 가장 근접한 0.01 m 배면 이격거리에서는 UB보다 약간 큰 수동토압이 산정되었다. 해당 단면은 반력벽체와 거의 접촉한 위치에 해당하므로, 반력벽체 하단부 인근에서 발생하는 국부적인 응력집중 영향이 크게 반영된 것으로 판단된다. 반면, 3.00 m 배면 이격거리에서는 LB보다 약간 작은 수동토압이 산정되었다. 본 연구에서 반력벽체 깊이는 3.33 m이며, 3.00 m 단면은 앞서 설정한 영향범위 외각에 가까운 위치이다. 따라서 해당 단면에서는 반력벽체 인근에서 작용한 수평 응력이 배면 방향으로 전달되면서 감소한 응력분포가 반영된 것으로 판단된다. 종합하면, 0.01 m와 3.00 m 배면 이격거리를 각각 국부 응력집중 구간 및 영향범위 외곽 구간으로 해석할 수 있다.

따라서, 0.01 m와 3.00 m 단면에서 산정된 수동토압은 이론적 범위를 일부 벗어나는 것으로 나타났으나, 그 차이는 크지 않았으며 전반적으로 LB와 UB에 의해 정의되는 이론적 범위에 근접한 수준으로 평가되었다. 이러한 차이는 수치해석 결과의 근본적인 불일치라기보다는 벽체에 매우 인접한 0.01 m 단면과 변형 영향범위의 경계부에 해당하는 3.00 m 단면의 위치적 특성에 따른 것으로 판단된다. 특히, 0.05–2.50 m 범위의 배면 이격거리에서는 Fig. 21과 같이 수치해석 결과가 모두 이론적 범위 내에 위치하였으며, 0.01 m와 3.00 m에서도 이론적 범위와의 편차가 제한적인 것으로 나타났다. 따라서 반력벽체 배면지반의 수동토압은 단일의 수치값으로 산정하기 보다는 LB와 UB를 통해 정의되는 이론적 범위 내에서 평가하는 것이 합리적인 것으로 판단된다.

Fig. 21.

Schematic comparison of passive earth pressure obtained from LB, UB and FEM analyses

6. 결 론

본 연구에서는 비배수 점토지반에서 추진관의 비개착 공법 시 반력벽체 배면지반에 작용하는 수동토압을 평가하기 위하여 하계법(LB), 상계법(UB) 및 수치해석을 수행하였다. 본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

1. 완전한 해는 UB와 LB가 서로 일치하는 경우라고 할 수 있다. 그러나 이러한 완전한 해를 현실적으로 구하기는 매우 어려우며 일반적으로 완전한 해는 UB와 LB 사이에 존재한다고 볼 수 있다.

2. 하계법을 이용하여 반력벽체 배면지반의 수동토압을 산정한 결과, 벽체-지반 경계면 전단조건과 30° fan을 고려한 수동토압은 1,275.00 kN으로 산정되었다. 하계법에서는 벽체-지반 경계면의 조건을 Mohr 원에 적용하여 응력 상태를 결정하고, 30° fan을 통해 최대 주응력 방향의 변화를 고려하였다. 이를 통해 반력벽체 배면지반에서의 수동토압의 하한값을 산정할 수 있었다.

3. 상계법을 이용하여 반력벽체 배면지반의 수동토압을 산정한 결과, LB의 응력장과 관련된 두 개의 블록과 한 개의 파괴 메커니즘을 고려한 수동토압은 1,617.00 kN으로 산정되었다. 상계법에서는 메커니즘의 파괴면을 따라 발생하는 가상의 일을 고려하였다. 이를 통해 반력벽체 배면지반에서의 수동토압의 상한값을 산정할 수 있었다.

4. 수치해석 결과, 반력벽체의 수평변위가 증가함에 따라 수동토압은 초기 단계에서 급격하게 증가한 후, 일정 수평변위 이후 수동토압은 수렴하였다. 따라서 본 해석에서는 수평변위가 일정 수준 이상 발생한 이후 반력벽체 배면지반의 수동토압이 극한상태에 도달한 것으로 판단한다.

5. 수치해석에서 확인된 최대 주응력 방향의 변화는 하계법에서 가정한 30° fan의 응력 회전 양상과 유사하게 나타났다. 또한 전단변형률 컨투어에서는 반력벽체 하단부에서 배면지반 내부로 발달하는 전단변형 집중대가 확인되었으며, 이는 상계법에서 가정한 파괴 메커니즘과 정성적으로 유사한 파괴 형상으로 판단된다.

6. 수치해석으로 산정한 수동토압은 대체로 하계해와 상계해 사이에 위치하였다. 이는 한계해석법에서 실제 해가 일반적으로 하계해와 상계해 사이에 존재한다는 개념과 일치한다. 이러한 결과를 통해 실제 설계 시 반력벽체 배면지반에 작용하는 수동토압은 상계해과 하계해 사이에 존재하는 값이 타당한 것으로 판단된다.